Videos ejemplos de MATEMATICA (2do de Secundaria).
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lunes
Repaso para el exanen completivo (Año Escolar 2025-2026)1ro de Secundaria.
Repaso para el exanen completivo.
Año Escolar. 2025-2026.
1ro de Secundaria.
I-) Investiga, analiza y responde las siguientes preguntas.¿Cuál es la diferencia fundamental entre un lado y una diagonal en un polígono?
¿Cómo se diferencian el radio y la apotema en un polígono regular?
De acuerdo con el texto, ¿qué caracteriza a un polígono regular a diferencia de un polígono en general?
¿Cuál es la diferencia entre un vértice y un ángulo en un polígono?
¿Qué nombre recibe el polígono regular que posee exactamente 7 lados?
¿Cuál es la diferencia entre el centro de un polígono regular y un vértice?
¿Cómo se define el ángulo central de un polígono regular en comparación con un ángulo interior común?
Si un polígono se define como una figura geométrica plana y cerrada, ¿cuál es el número mínimo de segmentos de recta consecutivos que requiere para existir?
II-) Fracciones visuales, fracciones.
1-Una empresa se encuentra diseñando patios en dos colores de baldosas: ¿Qué fracción está representada en rojo en cada una de estas figuras?
2-Observen las siguientes figuras y respondan:
a) ¿Qué fracciones representan los sectores verdes en cada figura?
b) Las fracciones centesimales son las que tienen como denominador el 100 ¿es posible expresar esos sectores con fracciones centesimales?
c) ¿Qué porcentajes representan?
III-) Aplicación de los porcentajes e interés simple.
I-) Basándote en un grupo de 2,000 nuevos estudiantes. Resuelvan cada ejercicio para comprobar sus respuestas.
1. Si el 20% de los 2,000 estudiantes son extranjeros, ¿cuántos vienen de otros países?
2. Si el 40% de los 2,000 estudiantes son mujeres, ¿cuál es la cantidad de hombres que ingresan?
3. Si el 80% de los 2,000 estudiantes logra graduarse, ¿cuántos terminarán su carrera?
IV-) Analiza los siguientes datos sobre un parque vehicular ficticio de 4,000,000 de unidades y marca V o F. Resuelvan cada ejercicio para comprobar sus respuestas.
____ Si las motocicletas representan el 50% del parque, hay exactamente 2,000,000 de motocicletas.
____ Si los vehículos de carga son el 10%, esto equivale a 450,000 vehículos.
V-) Realicen los cálculos y muestren su procedimiento.
1. Distribución Académica:
De los 2,000 estudiantes iniciales, el 30% se inscribió en Ingeniería. De ese grupo de ingeniería, el 10% eligió Ingeniería Civil.
¿Cuántos estudiantes hay en Ingeniería? _________
¿Cuántos de ellos están en Ingeniería Civil? _________
2- En un aula de 20 alumnos quedó registrada una asistencia del 90 %. ¿Cuántos estudiantes faltaron en esa oportunidad?
VI-) Analiza y resuelve.
1-) Un supermercado ha colocado un cartel que dice hasta 15 % de descuento por aniversario.
¿Cuánto debo pagar por estos artículos si lo que figura en la promoción es el precio de lista?
VII-) Perimetro y area de poligono.
Analiza y resuelve:
a) Construcción y cálculo del perímetro.
1. Dibuja cada polígono regular (hexágono, octógono).
2-Mide la longitud de un lado con la regla.
Registra esa medida en la columna “Medida del lado”
3. Calcula el perímetro multiplicando la medida del lado por el número de lados:
𝑃=𝑛×𝐿
Explica cómo obtuviste el resultado (por ejemplo: “Multipliqué la medida del lado por el número de lados del polígono”).
b) Cálculo del área y apotema
Traza la apotema desde el centro del polígono hasta el punto medio de un lado.
Mídela con la regla y anótala en la columna “Apotema”.
2. Calcula el área usando la fórmula:
.
sábado
Los Números primos, los aliados de la seguridad de Internet.
El Secreto
del Algoritmo RSA:
El sistema que hace esto posible se llama RSA
(por las iniciales de sus inventores: Rivest, Shamir y Adleman). Funciona bajo
el concepto de criptografía de clave pública y se puede entender
perfectamente con una analogía simple:
1. La Clave Pública (El candado abierto)
Cualquier servidor web (como el de tu banco) genera un
número extremadamente grande, llamado “N”. Este número no es un secreto; se
comparte abiertamente con cualquier navegador que intente conectarse. “N”
funciona como un candado abierto que el banco le da a tu computadora. Tu
navegador mete tus datos (como tu contraseña) dentro de una caja, le pone ese
candado y lo cierra.
2. La Trampa Matemática
Lo que casi nadie sabe, excepto el banco, es que ese número
gigante “N” se creó multiplicando dos
números primos ultra-secretos, a los que llamaremos “p” y “q”.
“N” = p x q.
Para tu computadora (Multiplicar):
Si el banco le da dos
primos como p = 61 y q = 53, calcular “N” es instantáneo:
61 x 53 = 3233. (En la vida real, se usan números primos de cientos de dígitos).
· Para un hacker (Factorizar): Si un atacante intercepta el número 3233 y quiere descifrar el mensaje, necesita descubrir cuáles dos números primos dieron origen a ese resultado. Con el número 3233 es fácil, pero si el número tiene 2048 bits (más de 600 dígitos), a la supercomputadora más potente del mundo le tomaría miles de millones de años encontrar esos dos primos por pura fuerza bruta.
·
3. La Clave Privada (La
llave del candado)
· Solo el banco posee los números originales p y q. Esos dos números primos específicos son la única llave matemática capaz de abrir el candado (deshacer el cifrado) de forma casi instantánea para leer tus datos legítimamente.
¿Por qué
solo funcionan los Números Primos?
Si usáramos
números compuestos (números que tienen muchos divisores), el sistema
colapsaría.
Por
ejemplo, si N fuera 100, un hacker terminaría muy rápido porque 100 se puede
dividir entre 2,
4, 5, 10,
20, 25 y 50. Hay demasiadas "pistas" y caminos para romper la
seguridad. En cambio, al usar el producto de dos números primos puros, solo
existen dos divisores posibles en todo el universo numérico. No hay atajos,
no hay patrones intermedios; es encontrar una aguja en un pajar infinito.
Así es como
la propiedad más pura de la aritmética, descubierta por los griegos hace miles
de años, se convirtió en el escudo invisible que evita que el internet colapse
hoy en día. Cada vez que vemos el ícono del candadito verde en la barra del
navegador, le debemos la paz mental a la impredecible naturaleza de los primos.
martes
Nueva forma geométrica conocida como “soft cells”.
Matemáticas en acción: el sorprendente hallazgo de las “soft cells”
En el mundo de las matemáticas, cada año trae consigo descubrimientos que no solo desafían nuestra comprensión teórica, sino que también transforman la manera en que interactuamos con el entorno. Uno de los aportes más fascinantes de los últimos meses ha sido el descubrimiento de una nueva forma geométrica conocida como “soft cells”.
¿Qué son las “soft cells”?
Las “soft cells” son figuras que pueden cubrir una superficie sin dejar espacios vacíos, similar a los mosaicos, pero con una estructura más flexible y orgánica. Lo sorprendente es que estas formas no solo existen en el papel: se han identificado en estructuras naturales como las conchas de nautilus y los glóbulos rojos. Este hallazgo conecta la matemática pura con la biología, la arquitectura y el diseño.
Características principales:
Bordes curvos y esquinas mínimas:
A diferencia de los mosaicos tradicionales (como los cuadrados o hexágonos), las células blandas tienen bordes redondeados y el menor número de esquinas posible, a menudo dos "puntiagudas" o cuspidales en 2D.
Flexibilidad y adaptabilidad:
Pueden doblarse, torcerse y deformarse fluidamente para adaptarse a su entorno, lo que las hace muy eficientes en el llenado del espacio.
Comunes en la naturaleza:
Aparecen en diversas formas naturales, como en los tejidos musculares, pétalos de flores, conchas y cortes de cebolla, donde la naturaleza prefiere evitar los ángulos agudos por razones de energía y estructura.
Implicaciones matemáticas y de la naturaleza:
Nuevas posibilidades geométricas: Desafían los modelos geométricos convencionales y abren un nuevo campo de investigación sobre la forma.
Comprensión de fenómenos naturales: Ayudan a entender cómo los organismos biológicos se forman, crecen y funcionan.
Inspiración para el diseño: Han inspirado a artistas y arquitectos, como la diseñadora Zaha Hadid.
Ejemplos de células blandas en la naturaleza:
Secciones transversales de cebolla: Muestran cámaras curvas que encajan perfectamente entre sí.
Conchas de nautilo: Presentan cámaras con bordes curvos que demuestran la geometría de la célula blanda en 3D.
Tiras de cebra: Son un ejemplo de la aplicación de células blandas en la naturaleza.
En el mundo de las matemáticas, cada año trae consigo descubrimientos que no solo desafían nuestra comprensión teórica, sino que también transforman la manera en que interactuamos con el entorno. Uno de los aportes más fascinantes de los últimos meses ha sido el descubrimiento de una nueva forma geométrica conocida como “soft cells”.
¿Qué son las “soft cells”?
Las “soft cells” son figuras que pueden cubrir una superficie sin dejar espacios vacíos, similar a los mosaicos, pero con una estructura más flexible y orgánica. Lo sorprendente es que estas formas no solo existen en el papel: se han identificado en estructuras naturales como las conchas de nautilus y los glóbulos rojos. Este hallazgo conecta la matemática pura con la biología, la arquitectura y el diseño.
Bordes curvos y esquinas mínimas:
A diferencia de los mosaicos tradicionales (como los cuadrados o hexágonos), las células blandas tienen bordes redondeados y el menor número de esquinas posible, a menudo dos "puntiagudas" o cuspidales en 2D.
Flexibilidad y adaptabilidad:
Pueden doblarse, torcerse y deformarse fluidamente para adaptarse a su entorno, lo que las hace muy eficientes en el llenado del espacio.
Comunes en la naturaleza:
Aparecen en diversas formas naturales, como en los tejidos musculares, pétalos de flores, conchas y cortes de cebolla, donde la naturaleza prefiere evitar los ángulos agudos por razones de energía y estructura.
Implicaciones matemáticas y de la naturaleza:
Nuevas posibilidades geométricas: Desafían los modelos geométricos convencionales y abren un nuevo campo de investigación sobre la forma.
Comprensión de fenómenos naturales: Ayudan a entender cómo los organismos biológicos se forman, crecen y funcionan.
Inspiración para el diseño: Han inspirado a artistas y arquitectos, como la diseñadora Zaha Hadid.
Ejemplos de células blandas en la naturaleza:
Secciones transversales de cebolla: Muestran cámaras curvas que encajan perfectamente entre sí.
Conchas de nautilo: Presentan cámaras con bordes curvos que demuestran la geometría de la célula blanda en 3D.
Tiras de cebra: Son un ejemplo de la aplicación de células blandas en la naturaleza.
miércoles
El problema del puente de Königsberg y el resultado de EULER.
El enigma de los puentes de Königsberg: ¿Por qué no se puede cruzar cada uno solo una vez?
¿Alguna vez te has preguntado si es posible cruzar todos los puentes de tu ciudad sin pasar dos veces por el mismo? Esta pregunta, que hoy parece un simple acertijo, fue en realidad el punto de partida de una rama fundamental de las matemáticas: la teoría de grafos. Su origen se remonta al siglo XVIII, en la antigua ciudad prusiana de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia).
La ciudad estaba dividida por el río Pregel y contaba con siete puentes que conectaban cuatro grandes áreas de tierra: dos islas y dos orillas. Los habitantes tenían un pasatiempo peculiar: pasear por la ciudad e intentar encontrar una ruta que les permitiera cruzar cada uno de los siete puentes una sola vez y regresar al punto de partida. Por más que lo intentaban, nadie lo lograba.
¿Qué hizo Euler?
En primer lugar, Euler simplificó el mapa del territorio a simplemente unas cuantas líneas y puntos, es decir elimino todo lo sobrante en el mapa.
Como podemos ver, los distintos territorios en los que los puentes dividieron la ciudad se convirtieron en puntos, es decir, en “vértices”; y los puentes se convirtieron en líneas, lo que llamamos “aristas”. También determina que hay un punto de “inicio” y un punto de “salida”.
Euler consiguió con este esquema, estudiar una solución para este famoso enigma que La reina de Konigsberg planteó como un problema matemático
Para poder recorrer los puentes de Königsberg, los vértices “intermedios” deben tener un número par de aristas. Es decir, deben tener una vía para entrar y una vía para salir. Sólo los puntos de inicio y salida pueden tener un número impar de aristas, porque, evidentemente, nunca “entramos” al punto de inicio y nunca “salimos” del punto de llegada.
Para simplificarlo aún más y poder explicarlo en el aula, vamos a imaginar una ruta que tenemos que recorrer, podríamos imaginar cualquier ruta o lugar para usarlo como ejemplo en clase pero para seguir con algunos apuntes de historia, vamos a escoger la única ruta que realizó el trasatlántico TITANIC en su viaje inaugural.
La genialidad de Euler fue darse cuenta de que la clave no estaba en la forma de los puentes o la distancia entre ellos, sino en la cantidad de puentes que llegaban a cada área de tierra (lo que hoy llamamos el grado del vértice). Demostró que para poder recorrer un camino que cruzara cada arista una sola vez, la red de puntos y líneas tenía que cumplir una de dos condiciones:
Si se quiere empezar y terminar en el mismo punto: Todos los puntos deben tener un número par de conexiones.
Si se quiere empezar y terminar en puntos diferentes: Exactamente dos puntos deben tener un número impar de conexiones (el de inicio y el de fin), y los demás deben tener un número par.
Al aplicar esta lógica a Königsberg, Euler descubrió que los cuatro puntos (las dos orillas y las dos islas) tenían un número impar de puentes (tres de ellos tenían tres puentes, y uno tenía cinco). Como no se cumplía ninguna de las condiciones, la conclusión fue innegable: era imposible cruzar todos los puentes una única vez.
El trabajo de Euler no solo resolvió un simple acertijo, sino que sentó las bases para la teoría de grafos, una rama de las matemáticas que hoy se utiliza para resolver problemas tan diversos como el diseño de redes de transporte, la optimización de rutas de internet, la planificación de logística y hasta el análisis de redes sociales. Un simple paseo por los puentes de una ciudad se convirtió en el nacimiento de una herramienta matemática que modela el mundo moderno.
lunes
Se revela patrón oculto en la secuencia de los números primos.
El profesor Ken Ono de la Universidad de Virginia ha realizado un hallazgo que podría redefinir la comprensión matemática de los números primos. En su estudio titulado «Partitions Detect Primes» («Las particiones detectan primos»), escrito en colaboración con los matemáticos Will Craig -antiguo estudiante de posgrado de la UVA— y Jan-Willem van Ittersum de la Universidad de Colonia, propone una conexión inédita entre dos áreas aparentemente distantes de las matemáticas: las particiones y la distribución de los números primos.
Los números primos son aquellos divisibles únicamente por sí mismos y por uno. Pese a su aparente simplicidad su comportamiento erratico en la recta numérica continúa siendo uno de los mayores enigmas sin resolver de las matemáticas, y tienen implicaciones críticas para la criptografía, la computación y la teoría de números.
Lo que Ono y su equipo han descubierto ahora es que las particiones —un concepto que cuenta las formas en que un número puede descomponerse en sumas de enteros más pequeños— encierran patrones ocultos capaces de revelar propiedades fundamentales de los números primos.
papiro Rhind.
Por ejemplo, el número 4 admite cinco particiones: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 y 1 + 1 + 1 + 1. La investigación demuestra que estas secuencias, al ser analizadas mediante una nueva familia infinita de funciones de partición, permiten identificar números primos sin recurrir a los tradicionales métodos de divisibilidad, en un enfoque que hasta ahora había sido la piedra angular de su detección.
Nuestro trabajo provee infinitas maneras nuevas de localizar primos, evitando el proceso engorroso de verificar divisores, explicó Ono. Aunque los primos se estudian desde hace siglos, siguen guardando secretos que desafían las herramientas clásicas.
Implicaciones más allá de la teoría: ciberseguridad y computación cuántica
La relevancia del hallazgo trasciende el ámbito teórico. Ono, que también forma parte del consejo asesor de la Agencia de Seguridad Nacional de EE.UU. (NSA), subrayó que los números primos son la base de algoritmos criptográficos como el RSA, que se utiliza para proteger las transacciones bancarias, las comunicaciones militares y datos clasificados.
La seguridad del mundo moderno depende de que factorizar números grandes en sus componentes primos sea un problema computacionalmente difícil, señaló. No obstante, advirtió que el advenimiento de la computación cuántica podría alterar ese paradigma: Si alguien construye un ordenador cuántico eficiente, los métodos actuales de encriptación quedarán obsoletos. Por eso es urgente profundizar en alternativas.
Los números primos son aquellos divisibles únicamente por sí mismos y por uno. Pese a su aparente simplicidad su comportamiento erratico en la recta numérica continúa siendo uno de los mayores enigmas sin resolver de las matemáticas, y tienen implicaciones críticas para la criptografía, la computación y la teoría de números.
Lo que Ono y su equipo han descubierto ahora es que las particiones —un concepto que cuenta las formas en que un número puede descomponerse en sumas de enteros más pequeños— encierran patrones ocultos capaces de revelar propiedades fundamentales de los números primos.
papiro Rhind.
Por ejemplo, el número 4 admite cinco particiones: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 y 1 + 1 + 1 + 1. La investigación demuestra que estas secuencias, al ser analizadas mediante una nueva familia infinita de funciones de partición, permiten identificar números primos sin recurrir a los tradicionales métodos de divisibilidad, en un enfoque que hasta ahora había sido la piedra angular de su detección.
Nuestro trabajo provee infinitas maneras nuevas de localizar primos, evitando el proceso engorroso de verificar divisores, explicó Ono. Aunque los primos se estudian desde hace siglos, siguen guardando secretos que desafían las herramientas clásicas.
Implicaciones más allá de la teoría: ciberseguridad y computación cuántica
La relevancia del hallazgo trasciende el ámbito teórico. Ono, que también forma parte del consejo asesor de la Agencia de Seguridad Nacional de EE.UU. (NSA), subrayó que los números primos son la base de algoritmos criptográficos como el RSA, que se utiliza para proteger las transacciones bancarias, las comunicaciones militares y datos clasificados.
La seguridad del mundo moderno depende de que factorizar números grandes en sus componentes primos sea un problema computacionalmente difícil, señaló. No obstante, advirtió que el advenimiento de la computación cuántica podría alterar ese paradigma: Si alguien construye un ordenador cuántico eficiente, los métodos actuales de encriptación quedarán obsoletos. Por eso es urgente profundizar en alternativas.
Fuente: labrujulaverde
viernes
Los números triangulas.
Números Triangulares: Una Introducción Fascinante.
Los números triangulares son una secuencia matemática que ha capturado la atención de matemáticos y entusiastas durante siglos debido a su simplicidad, elegancia y conexión con patrones geométricos y algebraicos. En este artículo, exploraremos qué son los números triangulares, cómo se generan, sus propiedades y algunas de sus aplicaciones en matemáticas y más allá.
¿Qué son los números triangulares?
Un número triangular es un tipo de número figurado que representa el número de objetos que pueden formar un triángulo equilátero. Imagina apilar monedas o puntos en forma de triángulo: la primera fila tiene 1 punto, la segunda 2, la tercera 3, y así sucesivamente. El número total de puntos en el triángulo resultante es un número triangular.
Por ejemplo:
El primer número triangular es 1 (un solo punto).
El segundo número triangular es 3 (1 + 2).
El tercer número triangular es 6 (1 + 2 + 3).
El cuarto número triangular es 10 (1 + 2 + 3 + 4).
La secuencia de números triangulares comienza así: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
Fórmula matemática
La fórmula para encontrar el n-ésimo número triangular es sencilla y elegante. El n-ésimo número triangular, denotado como ( T_n ), se calcula como la suma de los primeros n números naturales:
Así, la secuencia de números triangulares comienza con 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
Propiedades de los números triangulares
Los números triangulares poseen varias propiedades interesantes que los hacen relevantes en diversas áreas de las matemáticas:
Relación con números cuadrados: La suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado. Por ejemplo, ( T_3 = 6 ) y ( T_4 = 10 ), y ( 6 + 10 = 16 ), que es ( 4^2 ).
Conexión con la combinatoria: Los números triangulares están relacionados con el número de combinaciones. En concreto, ( T_n ) representa el número de formas de elegir 2 elementos de un conjunto de ( n+1 ) elementos, es decir, ( \binom{n+1}{2} = T_n ).
Suma de números triangulares: La suma de los primeros n números triangulares también sigue un patrón. Por ejemplo, la suma de los números triangulares ( 1 + 3 + 6 + 10 = 20 ) es igual a ( \frac{n(n+1)(n+2)}{6} ), que es un número tetrahedral.
Propiedad recursiva: Cada número triangular puede definirse recursivamente como ( T_n = T_{n-1} + n ), con ( T_1 = 1 ).
Aplicaciones de los números triangulares
Los números triangulares no solo son un concepto teórico, sino que también aparecen en diversos contextos prácticos y teóricos:
Geometría: Como su nombre indica, los números triangulares están asociados con disposiciones geométricas en forma de triángulo. Esta idea se extiende a otros números figurados, como los números cuadrados o pentagonales.
Teoría de números: Los números triangulares son un caso especial de números poligonales y se estudian en la teoría de números por sus propiedades algebraicas y sus conexiones con otras secuencias.
Problemas combinatorios: Los números triangulares aparecen en problemas que involucran conteo, como el número de apretones de manos posibles entre n personas (donde cada persona se da la mano con todas las demás exactamente una vez).
Ciencias de la computación: En algoritmos, los números triangulares pueden estar relacionados con el análisis de complejidad de ciertos problemas o con estructuras de datos que involucran sumas acumulativas.
Curiosidades
Números triangulares y la cultura: En la antigüedad, los números triangulares eran estudiados por los pitagóricos, quienes los consideraban parte de los "números figurados" y les atribuían significados místicos.
Números triangulares perfectos: Un número triangular es "perfecto" si también es igual a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 6 es un número triangular (( T_3 )) y un número perfecto (( 1 + 2 + 3 = 6 )). Sin embargo, los números triangulares perfectos son extremadamente raros.
Patrones visuales: Los números triangulares pueden visualizarse no solo como triángulos, sino también como configuraciones en otras áreas, como en el diseño de patrones o en rompecabezas matemáticos.
lunes
Álgebra Lineal en Redes Neuronales.
Las redes neuronales son modelos de inteligencia artificial
inspirados en el cerebro humano. Utilizan estructuras llamadas capas de
neuronas para procesar datos y aprender patrones. Aquí es donde el álgebra
lineal juega un papel crucial. Vamos a desglosarlo:
Álgebra Lineal en Redes Neuronales
-Cada capa de una red neuronal realiza cálculos utilizando matrices y vectores. Por ejemplo, los datos de entrada se representan como un vector, y los pesos y sesgos de las neuronas se organizan en matrices.
-El cálculo principal en cada capa es la multiplicación entre una matriz de pesos y un vector de entrada, seguido de la adición de un vector de sesgos. Esto se expresa como: $$y = Wx + b$$ Donde:
- WW es la matriz de pesos.
- xx es el vector de entrada.
- bb es el vector de sesgos.
- yy es el resultado o vector de salida
2-) Funciones de activación:
Después de realizar las operaciones con matrices y vectores, se aplica una función de activación (como ReLU, Sigmoid o Tanh) para introducir no linealidad. Esto permite que la red neuronal aprenda patrones complejos.
3-) Propagación hacia atrás (Backpropagation):
Es el algoritmo que ajusta los pesos de la red para minimizar el error. Aquí el álgebra lineal y el cálculo diferencial se combinan para calcular gradientes (derivadas) y actualizar los pesos.
4-) Reducción de dimensionalidad:
Algunas técnicas como PCA (Análisis de Componentes Principales) utilizan álgebra lineal para simplificar la representación de datos y hacerlos más manejables para las redes neuronales.
Ejemplo Práctico
Imagina que entrenas una red para clasificar imágenes de gatos y perros. Cada imagen se convierte en una matriz (un conjunto de píxeles), y las operaciones con álgebra lineal transforman y procesan esas matrices para que la red pueda identificar patrones que diferencien a un gato de un perro.
Imagina que entrenas una red para clasificar imágenes de gatos y perros. Cada imagen se convierte en una matriz (un conjunto de píxeles), y las operaciones con álgebra lineal transforman y procesan esas matrices para que la red pueda identificar patrones que diferencien a un gato de un perro.
Rotación (transformaciones geométricas).
La rotación o giro en el plano es una transformación geométrica que se realiza alrededor de un punto fijo en un ángulo determinado. Este punto fijo se llama centro de giro, si el ángulo es positivo, el sentido del giro es opuesto al de las manecillas del reloj y si el ángulo es negativo es en el sentido del giro de las manecillas del reloj.
Características de la rotación.
La rotación es una de las transformaciones geométricas.
La rotación mantiene el tamaño y la forma de la figura.
La cantidad de rotación se mide en grados.
Las rotaciones más comunes son 90°, 180°, 270° y 360°.
Las rotaciones pueden ser en sentido horario o antihorario.
Los ángulos positivos suelen representar rotaciones en sentido antihorario, mientras que los negativos representan rotaciones en el sentido horario.
Rotación en la vida:
Los giros también están presentes en nuestra vida cotidiana:
Pasos para rotar un segmento a 90, 180 y 270 grados en el plano cartesiano.
1. Identifica los puntos extremos del segmento:
Sean los puntos extremos del segmento A(x, y) y B(x', y').
2. Aplica las reglas de rotación para cada punto:
Rotación de 90° (antihorario):
El punto A(x, y) se transforma en A'(-y, x).
El punto B(x', y') se transforma en B'(-y', x').
Rotación de 180°:
El punto A(x, y) se transforma en A''(-x, -y).
El punto B(x', y') se transforma en B''(-x', -y').
Rotación de 270° (antihorario):
El punto A(x, y) se transforma en A'''(y, -x).
El punto B(x', y') se transforma en B'''(y', -x').
3. Grafica el nuevo segmento:
Ubica los nuevos puntos A', B' (para 90°), A'', B'' (para 180°), o A''', B''' (para 270°) en el plano cartesiano.
Conecta estos nuevos puntos para formar el segmento rotado.
Características de la rotación.
La rotación es una de las transformaciones geométricas.
La rotación mantiene el tamaño y la forma de la figura.
La cantidad de rotación se mide en grados.
Las rotaciones más comunes son 90°, 180°, 270° y 360°.
Las rotaciones pueden ser en sentido horario o antihorario.
Los ángulos positivos suelen representar rotaciones en sentido antihorario, mientras que los negativos representan rotaciones en el sentido horario.
Rotación en la vida:
Los giros también están presentes en nuestra vida cotidiana:
- Al girar la llave en una cerradura para abrir una puerta.
- Cuando giramos el volante de un vehículo para cambiar de dirección.
- Al girar la cabeza para mirar a nuestro alrededor.
-Cuando giramos una tuerca para ajustar una pieza mecánica.
-Si estamos escuchando música y giramos una perilla para ajustar el volumen de un dispositivo de audio.
Las rotaciones más comunes son 90°, 180°, 270°. Así quedara cuando hacemos rotar un punto a esas rotaciones.
- Cuando giramos el volante de un vehículo para cambiar de dirección.
- Al girar la cabeza para mirar a nuestro alrededor.
-Cuando giramos una tuerca para ajustar una pieza mecánica.
-Si estamos escuchando música y giramos una perilla para ajustar el volumen de un dispositivo de audio.
Las rotaciones más comunes son 90°, 180°, 270°. Así quedara cuando hacemos rotar un punto a esas rotaciones.
Pasos para rotar un segmento a 90, 180 y 270 grados en el plano cartesiano.
1. Identifica los puntos extremos del segmento:
Sean los puntos extremos del segmento A(x, y) y B(x', y').
2. Aplica las reglas de rotación para cada punto:
Rotación de 90° (antihorario):
El punto A(x, y) se transforma en A'(-y, x).
El punto B(x', y') se transforma en B'(-y', x').
Rotación de 180°:
El punto A(x, y) se transforma en A''(-x, -y).
El punto B(x', y') se transforma en B''(-x', -y').
Rotación de 270° (antihorario):
El punto A(x, y) se transforma en A'''(y, -x).
El punto B(x', y') se transforma en B'''(y', -x').
3. Grafica el nuevo segmento:
Ubica los nuevos puntos A', B' (para 90°), A'', B'' (para 180°), o A''', B''' (para 270°) en el plano cartesiano.
Conecta estos nuevos puntos para formar el segmento rotado.
Ejemplo:
Sea un segmento con puntos extremos A(2, 3) y B(5, 1).
- Rotación de 90°:
- A'( -3, 2)
- B'( -1, 5)
- Rotación de 180°:
- A''(-2, -3)
- B''(-5, -1)
- Rotación de 270°:
- A'''(3, -2)
- B'''(1, -5)
VIDEOS EJEMPLOS.
ROTAR SEEGMENTOS:
Rotación a 90 grados:
Rotación a 180 y 270 grados.
martes
Simetría central (transformaciones geométricas).
Una figura tiene simetría central si existe un punto, llamado centro de simetría, tal que la imagen de la figura reflejada alrededor de ese punto coincide con la figura original. Dos puntos son simétricos respecto de un punto que llamaremos centro de simetría si están a la misma distancia de éste en cualquier dirección.
Ejemplos de simetría central en nuestra vida diaria:
Los copos de nieve tienen simetría central. Si observas un copo de nieve, verás que cada uno tiene una forma hexagonal con seis brazos que son idénticos en tamaño y forma, que irradian desde un punto central.
Los girasoles tienen simetría central. Si miras un girasol desde arriba, verás que los pétalos están dispuestos alrededor de un punto central, y si los cuentas, generalmente tendrán un número de pétalos que es un número de Fibonacci.
Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0).
se pueden caracterizar gráficamente de la siguiente manera:
Una simetría de centro 
equivale a un giro de centro y amplitud 
. Por lo cual un 
tiene las siguientes coordenadas:
Ejemplos:
Los dos triángulos siguientes son simétricos con respecto al origen de coordenadas O:
Coordenadas de los puntos: A= (1, 2), B=(3, 1), C=(2, -1).
Coordenadas de sus simétricos: A’=(-1, -2), B’=(-3, -1), C’=(-2, 1).
Ejemplos de simetría central en nuestra vida diaria:
Los copos de nieve tienen simetría central. Si observas un copo de nieve, verás que cada uno tiene una forma hexagonal con seis brazos que son idénticos en tamaño y forma, que irradian desde un punto central.
equivale a un giro de centro y amplitud . Por lo cual un tiene las siguientes coordenadas:
Ejemplos:
Los dos triángulos siguientes son simétricos con respecto al origen de coordenadas O:
Coordenadas de los puntos: A= (1, 2), B=(3, 1), C=(2, -1).
VIDEO EJEMPLO:
lunes
Traslación (transformación geométrica).
La traslación pertenecen a un tipo de transformación geométrica que implica mover una figura de un lugar a otro sin cambiar su tamaño o su forma. En el plano, una traslación se realiza desplazando todos los puntos de una figura la misma distancia y en la misma dirección.Las traslaciones no alteran la forma ni el tamaño de la figura original, sino que simplemente la mueve, conservando las propiedades geométricas, como la longitud de los segmentos, los ángulos y las áreas.
Algunos ejemplos de traslación en nuestra vida cotidiana:
- Cuando un vehículo, motor o bicicleta se mueve hacia adelante o hacia atrás, está experimentando
una traslación.
- Cuando movemos una imagen en una pantalla de un dispositivo electrónico, estamos realizando una traslación.
- En la astronomía, la traslación de los planetas en su órbita alrededor del sol es un ejemplo de una traslación en el espacio.
- Cuando empujamos un carrito de compras en el supermercado, estamos realizando una translación.
Traslaciones en el plano cartesiano:
Traslada el triángulo ABC 4 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Nombra el nuevo triángulo A' B' C'.
Algunos ejemplos de traslación en nuestra vida cotidiana:
- Cuando un vehículo, motor o bicicleta se mueve hacia adelante o hacia atrás, está experimentando
una traslación.
- Cuando movemos una imagen en una pantalla de un dispositivo electrónico, estamos realizando una traslación.
- En la astronomía, la traslación de los planetas en su órbita alrededor del sol es un ejemplo de una traslación en el espacio.
- Cuando empujamos un carrito de compras en el supermercado, estamos realizando una translación.
Traslaciones en el plano cartesiano:
Elementos de
una traslación
1-) Componente
horizontal (X): Indica cuánto se mueve la figura a lo largo del eje “X”, hacia
la derecha (+x) o hacia la izquierda (-x).
Ejemplos:
Si tenemos el
punto (2, 4), y queremos trasladarlo 5 unidades hacia la derecha,
entonces a la componente de “X”, le sumamos más cinco, (2+5, 4), y el nuevo
punto trasladado será (7, 4).
Si tenemos el
mismo punto (2, 4), y queremos trasladarlo 5 unidades hacia la
izquierda, entonces a la componente de “X”, le sumamos menos cinco, (2- 5, 4),
y el nuevo punto trasladado será (-3, 4).
2-) Componente
vertical (Y): Indica cuánto se mueve la figura a lo largo del eje “Y”, hacia
arriba (+y) o hacia abajo (-y).
Traslada el triángulo ABC 4 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Nombra el nuevo triángulo A' B' C'.
1. Identificar las coordenadas de los vértices del triángulo original (ABC):
A: (3, 1)
B: (5, 3)
B: (5, 3)
C: (1, 4)
2. Aplicar la traslación:
La traslación nos indica que debemos mover cada punto 4 unidades a la derecha (sumar 4 a la coordenada x) y 2 unidades hacia arriba (sumar 2 a la coordenada y).
3. Calcular las coordenadas de los nuevos vértices (A', B', C'):
A': (3 + 4, 1 + 2) = (7, 3)
B': (5 + 4, 3 + 2) = (9, 5)
C': (1 + 4, 4 + 2) = (5, 6)
2. Aplicar la traslación:
La traslación nos indica que debemos mover cada punto 4 unidades a la derecha (sumar 4 a la coordenada x) y 2 unidades hacia arriba (sumar 2 a la coordenada y).
3. Calcular las coordenadas de los nuevos vértices (A', B', C'):
A': (3 + 4, 1 + 2) = (7, 3)
B': (5 + 4, 3 + 2) = (9, 5)
C': (1 + 4, 4 + 2) = (5, 6)
Resultado:
El triángulo ABC trasladado 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba tiene los siguientes vértices: A': (7, 3)
- B': (9, 5)
- C': (5, 6)
VIDEOS EJEMPLOS:
domingo
Simetría axial o de reflexión
La simetría axial o reflexión la podemos encontrar en distintos aspectos
de la vida cotidiana como:
En la siguiente imagen podemos ver el Taj Mahal y su reflejo en el agua,
utilizando la superficie del agua como eje de simetría.
a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.
b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.
Es importante destacar la aplicación de la reflexión en el plano cartesiano. Es por eso por lo que para reflejar un punto con respecto a los ejes X e Y, podemos seguir la siguiente regla:
-Al reflejar un punto con respecto al eje X la coordenada (x, y) cambia a (x, -y)
-Al reflejar un punto con respecto al eje Y la coordenada (x, y) cambia a (-x, y)
Reflejando imágenes en el plano cartesiano.
a-) Reflejando una imagen con respecto al eje “Y”.
Pasos:
1-Para reflejar un punto con respecto al eje “Y”, mantén la coordenada “Y” igual y cambia el signo de la coordenada “X”. Es decir, el punto (x, y) se convierte en (-x, y).
Ejemplo:
Dado el siguiente triangulo, reflejarlo con respecto al eje “Y”.
Escribimos los
puntos:
A (2, 6), B(4, 2),
C(1, 1)
Como vamos a reflejarlo
con respecto al eje “Y”, se reescriben los puntos nuevamente donde las componentes
de “Y”, se quedan igual, y las componentes de “X”, se le cambia el signo.
A (-2, 6), B(-4,
2), C(-1, 1)
Luego se ubican
los nuevos puntos y se forma el triángulo.
b-) Reflejando una imagen con respecto al eje “X”.
1-Cambia el signo
de las coordenadas “Y”: Para reflejar un punto con respecto al eje “X”, mantén
la coordenada “X” igual y cambia el signo de la coordenada “Y”. Es decir, el
punto (x, y) se convierte en (x, -y).
Ejemplos:
Dado el siguiente
triangulo, reflejarlo con respecto al eje “X”.
Escribimos los
puntos:
A (2, 6), B(4, 2),
C(1, 1)
Como vamos a reflejarlo
con respecto al eje “X”, se reescriben los puntos nuevamente donde las componentes
de “X”, se quedan igual, y las componentes de “Y”, se le cambia el signo.
A (2, -6), B(4, -2),
C(1, -1)
Luego se ubican
los nuevos puntos y se forma el triángulo.
VIDEO EJEMPLO:
jueves
Plano Cartesiano-ACTIVIDAD
I-) Utiliza el siguiente plano cartesiano para
ubicar los puntos: P1(.1, 1); P2(2, 1); P3(3,-3) y P4(-2, -3). Luego, utiliza
la regla para unir los puntos en el orden dado, ¿Qué figura geométrica se
forma?
II-) Mira el plano cartesiano y selecciona la
respuesta correcta.
¿Cuál es la coordenada de la palma?
¿En qué coordenada se encuentra la rosa?
III-) En la siguiente figura observamos un pueblo donde sus calles están distribuidas en forma horizontal y vertical. En algunas intersecciones se encuentran la iglesia, una escuela, un banco, una biblioteca y un hospital. ¿Si extrapolamos el pueblo a un plano cartesiano, podemos indicar las coordenadas del punto donde se encuentra cada establecimiento?
Coordenadas Cartesianas.
El plano cartesiano es el invento del mundialmente conocido matemático, físico y filósofo francés René Descartes; la principal función del plano cartesiano es la de ubicar puntos en relación con dos dimensiones.
Para realizar esta función, este plano utiliza dos rectas numéricas, una horizontal que es denominada eje de X o de las abscisas y otra vertical que es denominada eje de Y o de las ordenadas, con ambas se forma un ángulo que equivale a los noventa grados, es decir, son perpendiculares entre sí.
El punto de corte se llama origen y se denota mediante la letra O. La recta horizontal recibe el nombre de eje “x” y la vertical, eje “y”. Las escalas de ambos ejes no necesariamente tienen que ser de igual medida, por ejemplo, el eje x puede representar cantidades muy grandes, mientras que el eje y cantidades muy pequeñas, o viceversa.
Construir un plano cartesiano.
Dibujando los Ejes:
- Eje Horizontal (Eje X): Traza una línea
horizontal. Esta línea representa el eje de las abscisas o el eje X.
- Eje Vertical (Eje Y): Traza una línea
vertical que cruce el eje X en su punto medio. Esta línea representa el
eje de las ordenadas o el eje Y.
- Origen: El punto donde se cruzan los ejes
X e Y se llama origen. Este punto tiene las coordenadas (0, 0).
- Origen: El punto donde se cruzan los ejes
X e Y se llama origen. Este punto tiene las coordenadas (0, 0).
Marcando las Unidades (números):
- En ambos ejes, marca puntos a intervalos regulares. Estos puntos
representan las unidades de medida.
- A la derecha del origen en el eje X, los números son positivos. A
la izquierda, son negativos.
- Por encima del origen en el eje Y, los números son positivos. Por
debajo, son negativos.
- Es importante que la distancia entre cada unidad sea la misma en
ambos ejes para que la gráfica sea precisa.
Nota: Los números se colocan hasta donde lo
necesiten.
Cuadrantes:
El
plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes:
ü Cuadrante I: Arriba a la
derecha (X positivo, Y positivo).
ü Cuadrante II: Arriba a la
izquierda (X negativo, Y positivo).
ü Cuadrante III: Abajo a la
izquierda (X negativo, Y negativo).
ü Cuadrante IV: Abajo a la
derecha (X positivo, Y negativo).
Puntos
en el plano cartesiano.
Ejemplos:
Los puntos en el plano cartesiano se pueden
representar como pares ordenados de números. El primer número del par se llama
coordenada x y el segundo número se llama coordenada y.
Por ejemplo, los puntos que están en el plano
de la imagen: (-1, ), (3, 2) y (-3, -4).
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