El enigma de los puentes de Königsberg: ¿Por qué no se puede cruzar cada uno solo una vez?
¿Alguna vez te has preguntado si es posible cruzar todos los puentes de tu ciudad sin pasar dos veces por el mismo? Esta pregunta, que hoy parece un simple acertijo, fue en realidad el punto de partida de una rama fundamental de las matemáticas: la teoría de grafos. Su origen se remonta al siglo XVIII, en la antigua ciudad prusiana de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia).
La ciudad estaba dividida por el río Pregel y contaba con siete puentes que conectaban cuatro grandes áreas de tierra: dos islas y dos orillas. Los habitantes tenían un pasatiempo peculiar: pasear por la ciudad e intentar encontrar una ruta que les permitiera cruzar cada uno de los siete puentes una sola vez y regresar al punto de partida. Por más que lo intentaban, nadie lo lograba.
¿Qué hizo Euler?
En primer lugar, Euler simplificó el mapa del territorio a simplemente unas cuantas líneas y puntos, es decir elimino todo lo sobrante en el mapa.
Como podemos ver, los distintos territorios en los que los puentes dividieron la ciudad se convirtieron en puntos, es decir, en “vértices”; y los puentes se convirtieron en líneas, lo que llamamos “aristas”. También determina que hay un punto de “inicio” y un punto de “salida”.
Euler consiguió con este esquema, estudiar una solución para este famoso enigma que La reina de Konigsberg planteó como un problema matemático
Para poder recorrer los puentes de Königsberg, los vértices “intermedios” deben tener un número par de aristas. Es decir, deben tener una vía para entrar y una vía para salir. Sólo los puntos de inicio y salida pueden tener un número impar de aristas, porque, evidentemente, nunca “entramos” al punto de inicio y nunca “salimos” del punto de llegada.
Para simplificarlo aún más y poder explicarlo en el aula, vamos a imaginar una ruta que tenemos que recorrer, podríamos imaginar cualquier ruta o lugar para usarlo como ejemplo en clase pero para seguir con algunos apuntes de historia, vamos a escoger la única ruta que realizó el trasatlántico TITANIC en su viaje inaugural.
La genialidad de Euler fue darse cuenta de que la clave no estaba en la forma de los puentes o la distancia entre ellos, sino en la cantidad de puentes que llegaban a cada área de tierra (lo que hoy llamamos el grado del vértice). Demostró que para poder recorrer un camino que cruzara cada arista una sola vez, la red de puntos y líneas tenía que cumplir una de dos condiciones:
Si se quiere empezar y terminar en el mismo punto: Todos los puntos deben tener un número par de conexiones.
Si se quiere empezar y terminar en puntos diferentes: Exactamente dos puntos deben tener un número impar de conexiones (el de inicio y el de fin), y los demás deben tener un número par.
Al aplicar esta lógica a Königsberg, Euler descubrió que los cuatro puntos (las dos orillas y las dos islas) tenían un número impar de puentes (tres de ellos tenían tres puentes, y uno tenía cinco). Como no se cumplía ninguna de las condiciones, la conclusión fue innegable: era imposible cruzar todos los puentes una única vez.
El trabajo de Euler no solo resolvió un simple acertijo, sino que sentó las bases para la teoría de grafos, una rama de las matemáticas que hoy se utiliza para resolver problemas tan diversos como el diseño de redes de transporte, la optimización de rutas de internet, la planificación de logística y hasta el análisis de redes sociales. Un simple paseo por los puentes de una ciudad se convirtió en el nacimiento de una herramienta matemática que modela el mundo moderno.
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