El cilindro,teoría y ejercicios resueltos.

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Los cilindros son cuerpos geométricos que están formados por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
Un cilindro está formado por un rectángulo, que es la parte lateral del cilindro y por dos círculos, que son las dos bases del cilindro.

Al igual que en el cono, el área total de un cilindro se obtiene con la suma del área basal y el área lateral. En el cilindro tenemos 2 caras basales que son círculos congruentes y una cara lateral que es un rectángulo.

Elementos del cilindro.

-Las bases son dos círculos, perpendiculares al eje.
-La altura es la distancia entre las dos bases.
-El radio (r) es la longitud desde el eje hasta el extremo del cilindro. Corresponde con el radio de la base.


Área lateral, la base y total de un cilindro.

Se entiende "Área lateral de un cilindro" las paredes del cuerpo geométrico. Si imaginamos que estamos mirando un tubo el área lateral son las paredes del tubo. Así pues, para su cálculo se aplica la siguiente fórmula:

Área Lateral = 2(π.r.h)
Área de la base = 2(π. r2)

La superficie total de un cilindro, es la suma entre el área lateral y el área de sus dos círculos.

AT= 2(π.r.h) + 2(π . r2)


Ejemplo-1:

¿Cuál es el área total de un cilindro si su radio basal mide 10 cm y su altura mide 20 cm?

Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm
2 Π · 10 cm (20 cm + 10 cm) = 20 Π cm (30 cm) = 600 π cm²

Atotal = 600 π cm² = 600 x 3,14 = 1.884 cm²


Ejemplo-2:

Si observas la formula y sabes cómo obtener el área de un circulo, podrás notar que la parte final de la formula, 2πr², representa el área de los dos círculos, por lo tanto 2πrh nos da la parte de alrededor (verde). Veamos un ejemplo:


Siguiendo la formula, hay que sustituir valores

AT = 2πrh + 2πr²
AT = 2(3.14) (4) (7) + 2(3.14) (42)
AT = 175.84 + 100.48

AT = 276.32 inr²

Actividades
Ejercicios propuestos-Área del cilindro


VÍDEO-EJEMPLO.

Ejercicios prácticos del área del cilindro.

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1-) Que cantidad de papel decorativo se necesita para forrar la superficie lateral de un cuerpo como el del gráfico.
2-) Una lata de conservas tiene 16,6 cm de altura y 8,4 cm de radio de la base. ¿Qué cantidad de metal se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta?
3-) Se quiere tratar dos depósitos con pintura antioxidante. Los depósitos tienen 7,3 metros de alto y 9,7 metros de radio de la base. El precio por pintura de cada metro cuadrado es de 39 euros. ¿Cuál es el precio final de la pintura, sabiendo que sólo se pinta la base superior de cada uno?


4-) María quiere forrar la superficie lateral de un envase cilíndrico sin tapa como el de figura, ¿Cuántos m² de papel aproximadamente debería comprar?
5-) ¿Qué cantidad de zinz de metal se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado como el de la figura, por ambas bases que tenga 0´6 m de radio y 1´8 m de altura?
6-)  Las paredes de un pozo de 12 m de profundidad y 1´6 m de diámetro han sido repelladas a razón de 40 € el metro cuadrado. ¿Por cuánto ha salido la obra?




7-) Una verja se compone de 20 barrotes de hierro de 2´5 metros de altura y 1´5 cm de diámetro. Hay que darles una mano de minio a razón de 24 €/m2 . ¿A cuánto sale todo?


Aplicación o Uso del Área del Cilindro en la Vida Real.

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El área del cilindro tiene múltiples aplicaciones o uso en nuestra vida diaria, como es, construir latas de salsas, gandules, tanques, etc. Un ejemplo de eso seria:
Ej: Qué cantidad de hojalata se necesitara para hacer un tanque de forma cilíndrica (igual al de la figura), para echar basura, que sus dimensiones tengan 10 cm de radio y 28 centímetro de altura.
En este ejercicio se estará calculando el área lateral de un cilindro, ya que se esta hablando de construir una lata en forma cilíndrica.

Formula del área lateral del cilindro es:
Al= 2.π.r.h
π = 3.14
r = 10 com
h = 28cm
Aquí sustituimos en la formula.
Al= (3.14)(10)(28)
Al(3.14)(280)
Al879.2
RESPUESTA: Necesita 879.2 cm cuadrado de hojalata para hacer el tanque.

Actividades
► Ejercicios prácticos del área del cilindro.

VÍDEO-EJEMPLO.


Los reinos, Dominios y sus clasificaciones.

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Desde Aristóteles (en el siglo IV a.C.) hasta nuestros días, han sido varias las clasificaciones en las que se han agrupado los seres vivos.
Reinos
Los primeros intentos por clasificar a los organismos vivos hace ya mucho tiempo, los agruparon en dos grandes reinos: animales y plantas, pero con el descubrimiento de los microorganismos y el incremento de la información disponible sobre otros organismos, fue necesario ampliar esta escueta clasificación con reinos adicionales dada las diferencias básicas presentes entre los grupos de seres vivos.

En la actualidad, la mayor parte de los biólogos utilizan un sistema que agrupa a los organismos en seis reinos, cuatro de los cuales están constituidos por organismos eucariotas:
1.- Reino Animalia: seres vivos que son multicelulares durante la mayor parte de su vida, están dotados casi universalmente de la posibilidad de moverse e ingieren los alimentos.

2.- Reino Plantae: también son organismos multicelulares durante la mayor parte de su vida, pero son principalmente estacionarios y elaboran internamente sus propios alimentos.

3.- Reino Fungi: el que puede contener seres multicelulares, o unicelulares como el caso de las levaduras. Los hongos en general digieren los alimentos utilizando la secreción extracelular de enzimas.

4.- Reino Protista: incluye un gran número de organismos eucariotas que no encajan en ninguno de los tres reinos anteriores y que se agrupan
5-) Mónera
Unicelulares procariotas.Célula procariota: No tiene núcleo celular diferenciado, es decir, su material genético se encuentra disperso en el citoplasma, reunido en una zona denominada nucleoide.


arbitrariamente como protitas. La mayoría son unicelulares, o tienen una fase unicelular en sus vidas como en el caso de algunas algas.

Los otros dos reinos son: Arqueobacterias y Bacterias, ambos organismos procariotas que difieren notablemente del resto de los seres vivos como veremos más adelante. Las arqueobacterias (bacterias arcaicas) no necesariamente son más antiguas que las bacterias como sugiere erróneamente su nombre, y aunque inicialmente se pensaba que solo vivían en condiciones extremas luego se fueron encontrando en diversos habitad.

Dominios
Los dominios resultan niveles taxonómicos más altos que los reinos y en ellos las arqueobacterias (dominio Arquea) se ubican en el primer dominio, las bacterias (dominio Bacterias) en el segundo, y finalmente los eucariotas (dominio Eucarya) en el tercero.

Dominio Arquea
Este dominio, que contiene a las arqueobacterias, es un grupo de organismos procariotas diversos y no muy bien comprendidos, que comparten ciertas características claves:
1.- Ausencia de peptidoglicano: No presentan peptidoglicano en sus paredes celulares aunque este compuesto es muy importante en la pared celular de las bacterias.

2.- Lípidos de la membrana celular: Los lípidos en la membrana celular de las arqueobacterias tienen una estructura diferente a los del resto de los organismos vivos.

3.- ARN ribosómico: Tienen una secuencia particular en el ARN ribosómico.

4.- Pueden tener intrones: Algunos de sus genes contienen intrones a diferencia con aquellos de las bacterias que no los tienen.
Las arqueobacterias se clasifican en tres grupos generales: (1) metanógenas, (2) extremófilas y (3) y no extremas.
Arqueobacterias metanógenas

Estos organismos obtienen la energía vital utilizando hidrógeno (H2) para la reducción de dióxido de carbono (CO2) y producir metano (CH4). Aun trazas de oxígeno (O2) en el ambiente en que viven resulta tóxico para ellas, por lo que son estrictamente anaeróbicas. Habitan en los pantanos, ciénagas y los intestinos de los mamíferos.

Arqueobacterias extremófilas

Son capaces de crecer en condiciones que son insoportables para nosotros y para la mayoría de los seres vivos, y se pueden separar en varios tipos.

Termófilas: se desarrollan en ambientes muy calientes, usualmente entre 60 y 80°C. Muchas de estas arqueobacterias son autótrofas (generan sus propios alimentos) utilizando un metabolismo basado en el azufre. Un ejemplo de estos organismos se encuentra en las profundas fuentes térmicas del fondo del océano soportando temperaturas y presiones extremas. El récord en temperatura lo tiene Pyrolobus fumarii, una arqueobacteria cuya temperatura ambiental óptima es de 106°C y soporta un máximo de 113°C.
Halófilas: son organismos que viven en extrema salinidad como el Gran Lago Salado de Utah en USA o el Mar Muerto en Israel los que tienen en sus aguas entre 15 y 20% de sal (el océano tiene 3%).

Tolerantes al pH: viven en medios con gran acidez (pH = 0.7) o en medios muy alcalinos (pH = 11).

Tolerantes a la presión: si se sacan de su medio en el fondo del océano requieren 300 atmósferas de presión para sobrevivir y pueden tolerar hasta 800 atmósferas.

Dominio Bacteria

Las bacterias, organismos procariotas que según muchos biólogos, están emparentados evolutivamente de forma más lejana con los eucariotas que lo que están las arqueobacterias, al comparar los ARN ribosómicos (ARNr) y otras cualidades de los tres dominios, son los organismos más abundantes en La Tierra, tanto, que puede decirse que solo en el tracto digestivo de usted hay varias veces más bacterias vivas que mamíferos en todo el planeta.

Existen varios tipos de bacterias y los vínculos evolutivos entre ellas no se comprenden muy bien, por lo que los taxonomistas no se han puesto de acuerdo en los detalles de clasificación de las bacterias, aun así, muchos de ellos reconocen entre 12 y 15 grupos principales de bacterias.

Este dominio es de importancia primordial para la biosfera, son los organismos que extraen todo el nitrógeno del aire que utilizan el resto de los seres vivos y juegan un rol clave en el ciclo del carbono y el azufre. Mucha de la fotosíntesis mundial la llevan a cabo las bacterias. Por otro lado, ciertos grupos de ellas son las responsables de muchas enfermedades de plantas y animales.

Dominio Eukarya

Los miembros de este gran dominio de la vida son los más recientes históricamente de los tres grupos y aparecieron en La Tierra después de mil millones de años de existencia solitaria de los procariotas. Los primeros eucariotas fueron organismos unicelulares, y aunque metabólicamente las células procariotas y las eucariotas son similares, la estructura y función de estas últimas les permite ser más grandes, lo que a la postre hace que estas puedan evolucionar a formas de vida muticelulares.


Como hemos mencionado arriba, el dominio Eukarya contiene cuatro reinos, y aun hoy existe una amplia gama de seres unicelulares eucariotas que se agrupan juntos en el primer reino, Protistas, en conjunto con algunos descendientes multicelulares. Esta agrupación se basa en el hecho de que tales organismos no encajan en ninguno de los otros tres reinos de eucariotas. Dentro del reino Protista aparecen desde organismos relativamente simples y unicelulares como la ameba, hasta organismos multicelulares de gran porte como las algas marinas kelps que pueden alcanzar 20 m de longitud.


Ejercicios prácticos del área del cono.

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1-) Para una fiesta, Luis ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
2-) ¿ Que cantidad de papel aproximadamente se necesita para forrar un gorro que tiene forma como se muestra en la figura. 
3-) Calcula el área lateral de un cono de barquilla cuya altura mide 8 metros y el radio de su base 6 metros.
4-) ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel se necesita para cubrir la superficie lateral de un gorro como el de la figura?
5-) Una tienda de campaña tiene forma de cono recto; el radio de la base mide 1,5 m y la altura es de 3 m. El metro cuadrado de suelo cuesta 15 € ,y el resto, 7 € el metro cuadrado. ¿Cuánto cuesta el material para construirla?

VÍDEO-EJEMPLO.



Ejercicios resueltos del área de un Cono.

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El cono es el resultante de hacer rotar un triángulo rectángulo de hipotenusa g (la generatriz), cateto inferior r (el radio) y cateto h(altura del cono), alrededor de h.
El cono consta de dos áreas; área lateral y área del círculo. Para calcular el área de un cono sólo hacen falta dos de los siguientes datos: altura, radio o generatriz, ya que por el teorema de Pitágoras se puede encontrar el tercero.

Área lateral= π.r.g
Área del circulo= π.r²
AT= π.r.g + π.r²…………….Área total.


Ejemplo # 1

1-) Calcula el área lateral de un cono cuya generatriz mide 6 cm y el radio de la base es de 2 cm.
 En este ejercicio solo nos piden que busquemos el área lateral. Buscamos la formula y sustituimos en ella por los valores de la generatriz, el radio y el Pi= π, que es siempre (3.14)
Área lateral= π.r.g       
Al= (3.14) (12cm²)
Al= 37.68 cm²

Ejemplo # 2
1-) Calcula el área lateral de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.
Área lateral= π.r.g
En este ejercicio solo nos piden que busquemos el área lateral. Buscamos la formula y sustituimos en ella por los valores que nos dan, el radio y el Pi= π, que es siempre (3.14)
Como se puede observar nos hace falta el valor de la generatriz, para eso utilizaremos el teorema de Pitágoras, ya que en el ejercicio se forma un triángulo rectángulo que le falta un lado.

Entonces buscamos la g”
Al= (3.14)(15cm²)
Al= 47.1cm²


Ejemplo # 3
Calcula el área lateral, total de un cono cuya generatriz mide 30 cm y el radio de la base es de 16 cm.
Aquí buscamos el área total, obteniendo el área lateral y el área del circulo para al final sumar dichas areas.

Ál= π.r.g  + Ác= π.r²  = AT

Al= π.r.g
Al= (3.14)(16cm)(30cm)
Al= 1507.2cm²


Ác= π.r²
Ác=(3.14cm)(16cm)²
Ác=804.86cm²

Area total =  1507.2cm²  + 804.86cm² = 2312.06cm² 

Actividades
► Ejercicios propuestas-del Area del Cono.
► Ejercicios prácticos del área del cono.

VÍDEO-EJEMPLO

Calcular porcentaje, tanto por ciento, interés simples y compuesto.

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El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones .
El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una cifra o cantidad con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo.
Ejemplos:
1 centésimo = porcentaje001
5 centésimos = porcentaje002
50 centésimos = porcentaje003
¿Qué significa 50 %?: Significa que de una cantidad que se ha dividido en cien partes se han tomado 50 de ellas, o sea, la mitad.
¿Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ (25/100 al simplificar por 5, se reduce a ¼).
Cálculo de Porcentaje
En el Porcentaje o Tanto por ciento intervienen cuatro componentes:
Cantidad Total--------100 % 
Cantidad Parcial -----Porcentaje Parcial
Existen tres situaciones o tipos de problemas que pueden plantearse. Éstos son:
I-) Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje (%) parcial:

II-) Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de él.

III-) Dado el total y una parte de él calcular qué % es esa parte del total.


I-) Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje (%) parcial:
Ejemplos # 1 
1-) ¿Cuánto es 20% de 80?

Cantidad
Porcentaje
Total
80
100
Parcial
x
20
Para resolverlo, se hace:
porcentaje004
Resolvemos la incógnita (x):
porcentaje005
Haciendo la operación, queda:
porcentaje006
Simplificando, queda:
porcentaje007
Respuesta: el 20 % de 80 es 16.
Ejemplo # 2
Si a Jesús lo firma y le dan un bono de 3,750 dólares, y de ese dinero tiene que darle un 8% a su abogado, ¿Qué cantidad de dinero tiene que darle Jesús a su abogado?
0.8 x 3,750 = 300 dólares.
ACTIVIDAD
I-) Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje
a) 5% de 48
b) 18% de 750
c) 25% de 1100
d) 12% 4, 020
II-) Analiza y resuelve los siguientes problemas.
1) Susan compro un Samsun Galaxy que costo 7500, y le hicieron una rebaja de un 9%
¿De cuánto fue la rebaja?
2) Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
3-) Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
4)
II-) Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de él.
Ejemplo: Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 ¿Cuál es el total?
Cantidad
Porcentaje
x
100
120
20
Para resolverlo, se hace:
porcentaje008
Resolvemos la incógnita (x):
porcentaje009
Haciendo la operación, queda:
porcentaje010
Simplificando, queda:
porcentaje011
Respuesta: 120 es el 20 % de un total de 600.
III-) Dado el total y una parte de él calcular qué % es esa parte del total.
Ejemplo:  
1-) ¿ Qué porcentaje es 40 de 120?
Cantidad
Porcentaje
120
100
40
x
Para resolverlo, se hace:
porcentaje012
Resolvemos la incógnita  (x):
porcentaje013
Haciendo la operación, queda:
porcentaje014
Simplificando y haciendo la división, queda:
porcentaje015
Respuesta: 40 es el 33,33 % de 120.