| Actividades y teorías. | . |
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| Periodo # 1 | .. |
| ► Actividad # 1:Guía De Estudio 1: (los numeros reales)..................... | .. |
| ► Actividad # 2:Guía De Estudio 2: (sistema solar, escalas y notación científica)..................... | .. |
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Actividades
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| ► Ejercicios de Suma y Restas de Radicales. |
GUÍA DE ESTUDIO
Sistema solar, escalas y notación científica
Lee los conceptos y observa los ejemplos antes de completar tu práctica de Matemática.
Una escala es una relación entre una medida representada en un dibujo o modelo y la medida que representa en la realidad. Sirve para mostrar objetos o distancias muy grandes en un tamaño más pequeño y manejable, como las distancias entre los planetas.
Ejemplo: si una maqueta usa la escala 1 cm = 10 km, cada centímetro del modelo representa 10 kilómetros reales. Identifica la equivalencia que te dan y realiza la operación correspondiente.
La unidad astronómica (UA) es una unidad de medida que se utiliza para expresar distancias dentro del sistema solar. Una UA equivale aproximadamente a 150 millones de kilómetros y corresponde, de manera aproximada, a la distancia media entre la Tierra y el Sol.
Recuerda: UA se usa para expresar distancias astronómicas; centímetros pueden usarse para representar esas distancias en un dibujo o modelo a escala.
Cuando el ejercicio indica una equivalencia como 1 UA = 4 cm, significa que cada UA se representa con 4 cm. Multiplica la cantidad de UA por 4 para obtener los centímetros.
Ejemplo diferente: Con la escala 1 UA = 3 cm, representa 2 UA.
Operación: 2 × 3 = 6. Respuesta: 2 UA se representan con 6 cm.
Otro ejemplo: Con la escala 1 UA = 5 cm, representa 4 UA.
Operación: 4 × 5 = 20. Respuesta: 4 UA se representan con 20 cm.
Si cambia la escala, cambia también la operación. Lee con cuidado si cada UA representa 4 cm, 8 cm u otra medida.
Para saber qué planeta queda más lejos del Sol, compara las distancias expresadas en UA: el número mayor representa la distancia más grande.
La notación científica es una forma abreviada de escribir números muy grandes o muy pequeños. Se expresa así: a × 10ⁿ, donde a es un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y n es un número entero.
Ejemplo de número grande: 32 000 = 3.2 × 10⁴.
Ejemplo de número pequeño: 0.00056 = 5.6 × 10⁻⁴.
A) Si el número es grande:
1. Mueve la coma decimal hacia la izquierda hasta dejar una sola cifra distinta de cero antes de la coma.
2. Cuenta cuántos lugares se movió la coma.
3. Escribe ese número como exponente positivo de 10.
Ejemplo: 7 250 000 = 7.25 × 10⁶. La coma se movió 6 lugares a la izquierda.
B) Si el número es pequeño:
1. Mueve la coma hacia la derecha hasta dejar una sola cifra distinta de cero antes de la coma.
2. Cuenta los lugares que se movió.
3. Escribe ese número como exponente negativo de 10.
Ejemplo: 0.00042 = 4.2 × 10⁻⁴. La coma se movió 4 lugares a la derecha.
Truco para recordar: números grandes → exponente positivo; números pequeños entre 0 y 1 → exponente negativo. Comprueba que el primer número quede entre 1 y 10.
VIDEO EJEMPLO de Notación científica.
Problemas de escalas.
GUÍA DE ESTUDIO: LOS NÚMEROS REALES
Lee esta guía y úsala para resolver tu actividad de recuperación.
Los números sirven para expresar dinero, temperaturas, alturas, profundidades y cantidades.
Ejemplos: RD$500 representa dinero; 28.5 °C representa una temperatura; 2 metros bajo el nivel del mar representa una profundidad.
• Positivo (+): representa una cantidad por encima de cero, una ganancia o una posición sobre el nivel de referencia. Ejemplos: +4 pisos, +20 pesos.
• Negativo (−): representa una deuda, una pérdida o una posición por debajo de cero. Ejemplos: −300 pesos de deuda, −5 metros bajo el nivel del mar.
• El cero (0) no es positivo ni negativo.
Pista: si lees “deuda” o “bajo el nivel del mar”, normalmente se usa un número negativo. Si lees “por encima”, se usa uno positivo.
• Fracción: representa una o varias partes iguales de un todo. Se escribe con un número arriba y otro abajo, por ejemplo 1/2, 3/6 o 2/4.
Ejemplo: si una pizza se divide en 6 partes iguales y se comen 3, la fracción comida es 3/6.
• Número decimal: tiene una coma o punto decimal para separar la parte entera de la parte decimal. Ejemplos: 1.5, 28.5 y 85.50.
• Para reconocerlos: 1/2 es una fracción; 2.5 es un decimal; 4 es un número entero.
En la recta numérica, los números aumentan de izquierda a derecha.
• Los números negativos están a la izquierda del 0.
• El 0 está en el centro de referencia.
• Los números positivos están a la derecha del 0.
Ejemplo: −2 queda a la izquierda de 0, y 3 queda a la derecha de 0. Por eso, −2 está más a la izquierda y 3 más a la derecha.
Recta de ejemplo:
← −3 −2 −1 0 1 2 3 →
Piensa en una situación real que combine con el número:
• −6: puede representar una deuda de 6 pesos, una pérdida de 6 puntos o estar 6 metros bajo un nivel de referencia.
• 1/2: puede representar la mitad de una pizza, de una botella o de una cantidad.
• 2.5: puede representar 2.5 litros, 2.5 metros o una temperatura de 2.5 °C.
1. Lee cada pregunta con calma. 2. Busca en la guía la regla que necesitas. 3. Revisa si te piden marcar, escribir o completar. 4. Comprueba tus respuestas.
Importante: esta guía te orienta, pero debes completar la actividad de recuperación por ti mismo.
El Secreto
del Algoritmo RSA:
El sistema que hace esto posible se llama RSA
(por las iniciales de sus inventores: Rivest, Shamir y Adleman). Funciona bajo
el concepto de criptografía de clave pública y se puede entender
perfectamente con una analogía simple:
1. La Clave Pública (El candado abierto)
Cualquier servidor web (como el de tu banco) genera un
número extremadamente grande, llamado “N”. Este número no es un secreto; se
comparte abiertamente con cualquier navegador que intente conectarse. “N”
funciona como un candado abierto que el banco le da a tu computadora. Tu
navegador mete tus datos (como tu contraseña) dentro de una caja, le pone ese
candado y lo cierra.
2. La Trampa Matemática
Lo que casi nadie sabe, excepto el banco, es que ese número
gigante “N” se creó multiplicando dos
números primos ultra-secretos, a los que llamaremos “p” y “q”.
“N” = p x q.
Para tu computadora (Multiplicar):
Si el banco le da dos
primos como p = 61 y q = 53, calcular “N” es instantáneo:
61 x 53 = 3233. (En la vida real, se usan números primos de cientos de dígitos).
· Para un hacker (Factorizar): Si un atacante intercepta el número 3233 y quiere descifrar el mensaje, necesita descubrir cuáles dos números primos dieron origen a ese resultado. Con el número 3233 es fácil, pero si el número tiene 2048 bits (más de 600 dígitos), a la supercomputadora más potente del mundo le tomaría miles de millones de años encontrar esos dos primos por pura fuerza bruta.
·
3. La Clave Privada (La
llave del candado)
· Solo el banco posee los números originales p y q. Esos dos números primos específicos son la única llave matemática capaz de abrir el candado (deshacer el cifrado) de forma casi instantánea para leer tus datos legítimamente.
¿Por qué
solo funcionan los Números Primos?
Si usáramos
números compuestos (números que tienen muchos divisores), el sistema
colapsaría.
Por
ejemplo, si N fuera 100, un hacker terminaría muy rápido porque 100 se puede
dividir entre 2,
4, 5, 10,
20, 25 y 50. Hay demasiadas "pistas" y caminos para romper la
seguridad. En cambio, al usar el producto de dos números primos puros, solo
existen dos divisores posibles en todo el universo numérico. No hay atajos,
no hay patrones intermedios; es encontrar una aguja en un pajar infinito.
Así es como
la propiedad más pura de la aritmética, descubierta por los griegos hace miles
de años, se convirtió en el escudo invisible que evita que el internet colapse
hoy en día. Cada vez que vemos el ícono del candadito verde en la barra del
navegador, le debemos la paz mental a la impredecible naturaleza de los primos.
¿Alguna vez te has preguntado si es posible cruzar todos los puentes de tu ciudad sin pasar dos veces por el mismo? Esta pregunta, que hoy parece un simple acertijo, fue en realidad el punto de partida de una rama fundamental de las matemáticas: la teoría de grafos. Su origen se remonta al siglo XVIII, en la antigua ciudad prusiana de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia).
La ciudad estaba dividida por el río Pregel y contaba con siete puentes que conectaban cuatro grandes áreas de tierra: dos islas y dos orillas. Los habitantes tenían un pasatiempo peculiar: pasear por la ciudad e intentar encontrar una ruta que les permitiera cruzar cada uno de los siete puentes una sola vez y regresar al punto de partida. Por más que lo intentaban, nadie lo lograba.
¿Qué hizo Euler?
En primer lugar, Euler simplificó el mapa del territorio a simplemente unas cuantas líneas y puntos, es decir elimino todo lo sobrante en el mapa.
Como podemos ver, los distintos territorios en los que los puentes dividieron la ciudad se convirtieron en puntos, es decir, en “vértices”; y los puentes se convirtieron en líneas, lo que llamamos “aristas”. También determina que hay un punto de “inicio” y un punto de “salida”.
Euler consiguió con este esquema, estudiar una solución para este famoso enigma que La reina de Konigsberg planteó como un problema matemático
Para poder recorrer los puentes de Königsberg, los vértices “intermedios” deben tener un número par de aristas. Es decir, deben tener una vía para entrar y una vía para salir. Sólo los puntos de inicio y salida pueden tener un número impar de aristas, porque, evidentemente, nunca “entramos” al punto de inicio y nunca “salimos” del punto de llegada.
Para simplificarlo aún más y poder explicarlo en el aula, vamos a imaginar una ruta que tenemos que recorrer, podríamos imaginar cualquier ruta o lugar para usarlo como ejemplo en clase pero para seguir con algunos apuntes de historia, vamos a escoger la única ruta que realizó el trasatlántico TITANIC en su viaje inaugural.
La genialidad de Euler fue darse cuenta de que la clave no estaba en la forma de los puentes o la distancia entre ellos, sino en la cantidad de puentes que llegaban a cada área de tierra (lo que hoy llamamos el grado del vértice). Demostró que para poder recorrer un camino que cruzara cada arista una sola vez, la red de puntos y líneas tenía que cumplir una de dos condiciones:
Si se quiere empezar y terminar en el mismo punto: Todos los puntos deben tener un número par de conexiones.
Si se quiere empezar y terminar en puntos diferentes: Exactamente dos puntos deben tener un número impar de conexiones (el de inicio y el de fin), y los demás deben tener un número par.
Al aplicar esta lógica a Königsberg, Euler descubrió que los cuatro puntos (las dos orillas y las dos islas) tenían un número impar de puentes (tres de ellos tenían tres puentes, y uno tenía cinco). Como no se cumplía ninguna de las condiciones, la conclusión fue innegable: era imposible cruzar todos los puentes una única vez.
El trabajo de Euler no solo resolvió un simple acertijo, sino que sentó las bases para la teoría de grafos, una rama de las matemáticas que hoy se utiliza para resolver problemas tan diversos como el diseño de redes de transporte, la optimización de rutas de internet, la planificación de logística y hasta el análisis de redes sociales. Un simple paseo por los puentes de una ciudad se convirtió en el nacimiento de una herramienta matemática que modela el mundo moderno.
