Se revela patrón oculto en la secuencia de los números primos.

Se revela patrón oculto en la secuencia de los números primos.

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El profesor Ken Ono de la Universidad de Virginia ha realizado un hallazgo que podría redefinir la comprensión matemática de los números primos. En su estudio titulado «Partitions Detect Primes» («Las particiones detectan primos»), escrito en colaboración con los matemáticos Will Craig -antiguo estudiante de posgrado de la UVA— y Jan-Willem van Ittersum de la Universidad de Colonia, propone una conexión inédita entre dos áreas aparentemente distantes de las matemáticas: las particiones y la distribución de los números primos.

Los números primos son aquellos divisibles únicamente por sí mismos y por uno. Pese a su aparente simplicidad su comportamiento erratico en la recta numérica continúa siendo uno de los mayores enigmas sin resolver de las matemáticas, y tienen implicaciones críticas para la criptografía, la computación y la teoría de números.

Lo que Ono y su equipo han descubierto ahora es que las particiones —un concepto que cuenta las formas en que un número puede descomponerse en sumas de enteros más pequeños— encierran patrones ocultos capaces de revelar propiedades fundamentales de los números primos.


papiro Rhind.



Por ejemplo, el número 4 admite cinco particiones: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 y 1 + 1 + 1 + 1. La investigación demuestra que estas secuencias, al ser analizadas mediante una nueva familia infinita de funciones de partición, permiten identificar números primos sin recurrir a los tradicionales métodos de divisibilidad, en un enfoque que hasta ahora había sido la piedra angular de su detección.

Nuestro trabajo provee infinitas maneras nuevas de localizar primos, evitando el proceso engorroso de verificar divisores, explicó Ono. Aunque los primos se estudian desde hace siglos, siguen guardando secretos que desafían las herramientas clásicas.

Implicaciones más allá de la teoría: ciberseguridad y computación cuántica

La relevancia del hallazgo trasciende el ámbito teórico. Ono, que también forma parte del consejo asesor de la Agencia de Seguridad Nacional de EE.UU. (NSA), subrayó que los números primos son la base de algoritmos criptográficos como el RSA, que se utiliza para proteger las transacciones bancarias, las comunicaciones militares y datos clasificados.

La seguridad del mundo moderno depende de que factorizar números grandes en sus componentes primos sea un problema computacionalmente difícil, señaló. No obstante, advirtió que el advenimiento de la computación cuántica podría alterar ese paradigma: Si alguien construye un ordenador cuántico eficiente, los métodos actuales de encriptación quedarán obsoletos. Por eso es urgente profundizar en alternativas.

Fuente: labrujulaverde

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Los números triangulas.

Los números triangulas.

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Números Triangulares: Una Introducción Fascinante.

Los números triangulares son una secuencia matemática que ha capturado la atención de matemáticos y entusiastas durante siglos debido a su simplicidad, elegancia y conexión con patrones geométricos y algebraicos. En este artículo, exploraremos qué son los números triangulares, cómo se generan, sus propiedades y algunas de sus aplicaciones en matemáticas y más allá.

¿Qué son los números triangulares?

Un número triangular es un tipo de número figurado que representa el número de objetos que pueden formar un triángulo equilátero. Imagina apilar monedas o puntos en forma de triángulo: la primera fila tiene 1 punto, la segunda 2, la tercera 3, y así sucesivamente. El número total de puntos en el triángulo resultante es un número triangular.

Por ejemplo:

• El primer número triangular es 1 (un solo punto).

• El segundo número triangular es 3 (1 + 2).

• El tercer número triangular es 6 (1 + 2 + 3).

• El cuarto número triangular es 10 (1 + 2 + 3 + 4).

La secuencia de números triangulares comienza así: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Fórmula matemática

La fórmula para encontrar el n-ésimo número triangular es sencilla y elegante. El n-ésimo número triangular, denotado como ( T_n ), se calcula como la suma de los primeros n números naturales:

Así, la secuencia de números triangulares comienza con 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Propiedades de los números triangulares

Los números triangulares poseen varias propiedades interesantes que los hacen relevantes en diversas áreas de las matemáticas:

1. Relación con números cuadrados: La suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado. Por ejemplo, ( T_3 = 6 ) y ( T_4 = 10 ), y ( 6 + 10 = 16 ), que es ( 4^2 ).

2. Conexión con la combinatoria: Los números triangulares están relacionados con el número de combinaciones. En concreto, ( T_n ) representa el número de formas de elegir 2 elementos de un conjunto de ( n+1 ) elementos, es decir, ( \binom{n+1}{2} = T_n ).

3. Suma de números triangulares: La suma de los primeros n números triangulares también sigue un patrón. Por ejemplo, la suma de los números triangulares ( 1 + 3 + 6 + 10 = 20 ) es igual a ( \frac{n(n+1)(n+2)}{6} ), que es un número tetrahedral.

4. Propiedad recursiva: Cada número triangular puede definirse recursivamente como ( T_n = T_{n-1} + n ), con ( T_1 = 1 ).

Aplicaciones de los números triangulares

Los números triangulares no solo son un concepto teórico, sino que también aparecen en diversos contextos prácticos y teóricos:

• Geometría: Como su nombre indica, los números triangulares están asociados con disposiciones geométricas en forma de triángulo. Esta idea se extiende a otros números figurados, como los números cuadrados o pentagonales.

• Teoría de números: Los números triangulares son un caso especial de números poligonales y se estudian en la teoría de números por sus propiedades algebraicas y sus conexiones con otras secuencias.

• Problemas combinatorios: Los números triangulares aparecen en problemas que involucran conteo, como el número de apretones de manos posibles entre n personas (donde cada persona se da la mano con todas las demás exactamente una vez).

• Ciencias de la computación: En algoritmos, los números triangulares pueden estar relacionados con el análisis de complejidad de ciertos problemas o con estructuras de datos que involucran sumas acumulativas.

Curiosidades

• Números triangulares y la cultura: En la antigüedad, los números triangulares eran estudiados por los pitagóricos, quienes los consideraban parte de los "números figurados" y les atribuían significados místicos.

• Números triangulares perfectos: Un número triangular es "perfecto" si también es igual a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 6 es un número triangular (( T_3 )) y un número perfecto (( 1 + 2 + 3 = 6 )). Sin embargo, los números triangulares perfectos son extremadamente raros.

• Patrones visuales: Los números triangulares pueden visualizarse no solo como triángulos, sino también como configuraciones en otras áreas, como en el diseño de patrones o en rompecabezas matemáticos.

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Álgebra Lineal en Redes Neuronales.

Álgebra Lineal en Redes Neuronales.

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Las redes neuronales son modelos de inteligencia artificial inspirados en el cerebro humano. Utilizan estructuras llamadas capas de neuronas para procesar datos y aprender patrones. Aquí es donde el álgebra lineal juega un papel crucial. Vamos a desglosarlo:

Álgebra Lineal en Redes Neuronales

1-) Matrices y vectores:
-Cada capa de una red neuronal realiza cálculos utilizando matrices y vectores. Por ejemplo, los datos de entrada se representan como un vector, y los pesos y sesgos de las neuronas se organizan en matrices.

 
-El cálculo principal en cada capa es la multiplicación entre una matriz de pesos y un vector de entrada, seguido de la adición de un vector de sesgos. Esto se expresa como: $$y = Wx + b$$ Donde:

 

• WW es la matriz de pesos.
• xx es el vector de entrada.
• bb es el vector de sesgos.
• yy es el resultado o vector de salida

2-) Funciones de activación:

Después de realizar las operaciones con matrices y vectores, se aplica una función de activación (como ReLU, Sigmoid o Tanh) para introducir no linealidad. Esto permite que la red neuronal aprenda patrones complejos.


3-) Propagación hacia atrás (Backpropagation):

Es el algoritmo que ajusta los pesos de la red para minimizar el error. Aquí el álgebra lineal y el cálculo diferencial se combinan para calcular gradientes (derivadas) y actualizar los pesos.


4-) Reducción de dimensionalidad:

Algunas técnicas como PCA (Análisis de Componentes Principales) utilizan álgebra lineal para simplificar la representación de datos y hacerlos más manejables para las redes neuronales.

Ejemplo Práctico

Imagina que entrenas una red para clasificar imágenes de gatos y perros. Cada imagen se convierte en una matriz (un conjunto de píxeles), y las operaciones con álgebra lineal transforman y procesan esas matrices para que la red pueda identificar patrones que diferencien a un gato de un perro.

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Rotación (transformaciones geométricas).

Rotación (transformaciones geométricas).

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La rotación o giro en el plano es una transformación geométrica que se realiza alrededor de un punto fijo en un ángulo determinado. Este punto fijo se llama centro de giro, si el ángulo es positivo, el sentido del giro es opuesto al de las manecillas del reloj y si el ángulo es negativo es en el sentido del giro de las manecillas del reloj.

Características de la rotación.
La rotación es una de las transformaciones geométricas.
La rotación mantiene el tamaño y la forma de la figura.
La cantidad de rotación se mide en grados.
Las rotaciones más comunes son 90°, 180°, 270° y 360°.
Las rotaciones pueden ser en sentido horario o antihorario.
Los ángulos positivos suelen representar rotaciones en sentido antihorario, mientras que los negativos representan rotaciones en el sentido horario.

Rotación en la vida:
Los giros también están presentes en nuestra vida cotidiana:

- Al girar la llave en una cerradura para abrir una puerta.
- Cuando giramos el volante de un vehículo para cambiar de dirección.
- Al girar la cabeza para mirar a nuestro alrededor.
-Cuando giramos una tuerca para ajustar una pieza mecánica.
-Si estamos escuchando música y giramos una perilla para ajustar el volumen de un dispositivo de audio.

Las rotaciones más comunes son 90°, 180°, 270°. Así quedara cuando hacemos rotar un punto a esas rotaciones.

Pasos para rotar un segmento a 90, 180 y 270 grados en el plano cartesiano.

1. Identifica los puntos extremos del segmento:
Sean los puntos extremos del segmento A(x, y) y B(x', y').

2. Aplica las reglas de rotación para cada punto:
Rotación de 90° (antihorario):
El punto A(x, y) se transforma en A'(-y, x).
El punto B(x', y') se transforma en B'(-y', x').
Rotación de 180°:
El punto A(x, y) se transforma en A''(-x, -y).
El punto B(x', y') se transforma en B''(-x', -y').
Rotación de 270° (antihorario):
El punto A(x, y) se transforma en A'''(y, -x).
El punto B(x', y') se transforma en B'''(y', -x').

3. Grafica el nuevo segmento:
Ubica los nuevos puntos A', B' (para 90°), A'', B'' (para 180°), o A''', B''' (para 270°) en el plano cartesiano.
Conecta estos nuevos puntos para formar el segmento rotado.

Ejemplo:

Sea un segmento con puntos extremos A(2, 3) y B(5, 1).

• Rotación de 90°:
  • A'( -3, 2)
  • B'( -1, 5)
• Rotación de 180°:
  • A''(-2, -3)
  • B''(-5, -1)
• Rotación de 270°:
  • A'''(3, -2)
  • B'''(1, -5)

VIDEOS EJEMPLOS.

ROTAR SEEGMENTOS:

Rotación a 90 grados:

Rotación a 180 y 270 grados.

 

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Simetría central (transformaciones geométricas).

Simetría central (transformaciones geométricas).

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Una figura tiene simetría central si existe un punto, llamado centro de simetría, tal que la imagen de la figura reflejada alrededor de ese punto coincide con la figura original. Dos puntos son simétricos respecto de un punto que llamaremos centro de simetría si están a la misma distancia de éste en cualquier dirección.

Ejemplos de simetría central en nuestra vida diaria:
Los copos de nieve tienen simetría central. Si observas un copo de nieve, verás que cada uno tiene una forma hexagonal con seis brazos que son idénticos en tamaño y forma, que irradian desde un punto central.

Los girasoles tienen simetría central. Si miras un girasol desde arriba, verás que los pétalos están dispuestos alrededor de un punto central, y si los cuentas, generalmente tendrán un número de pétalos que es un número de Fibonacci.

Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0).

se pueden caracterizar gráficamente de la siguiente manera:

Una simetría de centro equivale a un giro de centro y amplitud . Por lo cual un tiene las siguientes coordenadas:

Ejemplos:
Los dos triángulos siguientes son simétricos con respecto al origen de coordenadas O:

Coordenadas de los puntos: A= (1, 2), B=(3, 1), C=(2, -1).

Coordenadas de sus simétricos: A’=(-1, -2), B’=(-3, -1), C’=(-2, 1).

VIDEO EJEMPLO:

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Traslación (transformación geométrica).

Traslación (transformación geométrica).

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La traslación pertenecen a un tipo de transformación geométrica que implica mover una figura de un lugar a otro sin cambiar su tamaño o su forma. En el plano, una traslación se realiza desplazando todos los puntos de una figura la misma distancia y en la misma dirección.

Las traslaciones no alteran la forma ni el tamaño de la figura original, sino que simplemente la mueve, conservando las propiedades geométricas, como la longitud de los segmentos, los ángulos y las áreas.

Algunos ejemplos de traslación en nuestra vida cotidiana:

- Cuando un vehículo, motor o bicicleta se mueve hacia adelante o hacia atrás, está experimentando
una traslación.
- Cuando movemos una imagen en una pantalla de un dispositivo electrónico, estamos realizando una traslación.
- En la astronomía, la traslación de los planetas en su órbita alrededor del sol es un ejemplo de una traslación en el espacio.
- Cuando empujamos un carrito de compras en el supermercado, estamos realizando una translación.

Traslaciones en el plano cartesiano:

Elementos de una traslación

1-) Componente horizontal (X): Indica cuánto se mueve la figura a lo largo del eje “X”, hacia la derecha (+x) o hacia la izquierda (-x).

Ejemplos:

Si tenemos el punto (2, 4), y queremos trasladarlo 5 unidades hacia la derecha, entonces a la componente de “X”, le sumamos más cinco, (2+5, 4), y el nuevo punto trasladado será (7, 4).

Si tenemos el mismo punto (2, 4), y queremos trasladarlo 5 unidades hacia la izquierda, entonces a la componente de “X”, le sumamos menos cinco, (2- 5, 4), y el nuevo punto trasladado será (-3, 4).

 

2-) Componente vertical (Y): Indica cuánto se mueve la figura a lo largo del eje “Y”, hacia arriba (+y) o hacia abajo (-y).

Ejemplos:
Traslada el triángulo ABC 4 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Nombra el nuevo triángulo A' B' C'.

1. Identificar las coordenadas de los vértices del triángulo original (ABC):

A: (3, 1)
B: (5, 3)

   C: (1, 4)

 2. Aplicar la traslación:
 La traslación nos indica que debemos mover cada punto 4 unidades a la derecha (sumar 4 a la    coordenada x) y 2 unidades hacia arriba (sumar 2 a la coordenada y).

3. Calcular las coordenadas de los nuevos vértices (A', B', C'):
A': (3 + 4, 1 + 2) = (7, 3)
B': (5 + 4, 3 + 2) = (9, 5)
C': (1 + 4, 4 + 2) = (5, 6)

Resultado:

El triángulo ABC trasladado 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba tiene los siguientes vértices: A': (7, 3)

• B': (9, 5)
• C': (5, 6)

VIDEOS EJEMPLOS:

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Simetría axial o de reflexión

Simetría axial o de reflexión

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La simetría axial o reflexión la podemos encontrar en distintos aspectos de la vida cotidiana como:

En la siguiente imagen podemos ver el Taj Mahal y su reflejo en el agua, utilizando la superficie del agua como eje de simetría.

La simetría axial o reflexión, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría (línea imaginaria que divide una figura, un cuerpo u otra 0033 en dos partes iguales), en la cual, a cada punto de una figura se asocia otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

Es importante destacar la aplicación de la reflexión en el plano cartesiano. Es por eso por lo que para reflejar un punto con respecto a los ejes X e Y, podemos seguir la siguiente regla:

-Al reflejar un punto con respecto al eje X la coordenada (x, y) cambia a (x, -y)
-Al reflejar un punto con respecto al eje Y la coordenada (x, y) cambia a (-x, y)

Reflejando imágenes en el plano cartesiano.

a-) Reflejando una imagen con respecto al eje “Y”.

Pasos:

1-Para reflejar un punto con respecto al eje “Y”, mantén la coordenada “Y” igual y cambia el signo de la coordenada “X”. Es decir, el punto (x, y) se convierte en (-x, y).

Ejemplo:

Dado el siguiente triangulo, reflejarlo con respecto al eje “Y”.

Escribimos los puntos:

A (2, 6), B(4, 2), C(1, 1)

Como vamos a reflejarlo con respecto al eje “Y”, se reescriben los puntos nuevamente donde las componentes de “Y”, se quedan igual, y las componentes de “X”, se le cambia el signo.

A (-2, 6), B(-4, 2), C(-1, 1)

Luego se ubican los nuevos puntos y se forma el triángulo.

b-) Reflejando una imagen con respecto al eje “X”.

1-Cambia el signo de las coordenadas “Y”: Para reflejar un punto con respecto al eje “X”, mantén la coordenada “X” igual y cambia el signo de la coordenada “Y”. Es decir, el punto (x, y) se convierte en (x, -y).

Ejemplos:

Dado el siguiente triangulo, reflejarlo con respecto al eje “X”.

Escribimos los puntos:

A (2, 6), B(4, 2), C(1, 1)

Como vamos a reflejarlo con respecto al eje “X”, se reescriben los puntos nuevamente donde las componentes de “X”, se quedan igual, y las componentes de “Y”, se le cambia el signo.

A (2, -6), B(4, -2), C(1, -1)

Luego se ubican los nuevos puntos y se forma el triángulo.

VIDEO EJEMPLO:

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Plano Cartesiano-ACTIVIDAD

Plano Cartesiano-ACTIVIDAD

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I-) Utiliza el siguiente plano cartesiano para ubicar los puntos: P1(.1, 1); P2(2, 1); P3(3,-3) y P4(-2, -3). Luego, utiliza la regla para unir los puntos en el orden dado, ¿Qué figura geométrica se forma?

II-) Mira el plano cartesiano y selecciona la respuesta correcta.

¿Cuál es la coordenada de la palma?

¿En qué coordenada se encuentra la rosa?

III-) En la siguiente figura observamos un pueblo donde sus calles están distribuidas en forma horizontal y vertical. En algunas intersecciones se encuentran la iglesia, una escuela, un banco, una biblioteca y un hospital. ¿Si extrapolamos el pueblo a un plano cartesiano, podemos indicar las coordenadas del punto donde se encuentra cada establecimiento?

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Coordenadas Cartesianas.

Coordenadas Cartesianas.

por   4:27 p.m.   No hay comentarios.:

El plano cartesiano es el invento del mundialmente conocido matemático, físico y filósofo francés René Descartes; la principal función del plano cartesiano es la de ubicar puntos en relación con dos dimensiones.

Para realizar esta función, este plano utiliza dos rectas numéricas, una horizontal que es denominada eje de X o de las abscisas y otra vertical que es denominada eje de Y o de las ordenadas, con ambas se forma un ángulo que equivale a los noventa grados, es decir, son perpendiculares entre sí.

El punto de corte se llama origen y se denota mediante la letra O. La recta horizontal recibe el nombre de eje “x” y la vertical, eje “y”. Las escalas de ambos ejes no necesariamente tienen que ser de igual medida, por ejemplo, el eje x puede representar cantidades muy grandes, mientras que el eje y cantidades muy pequeñas, o viceversa.

Construir un plano cartesiano.

Dibujando los Ejes:

• Eje Horizontal (Eje X): Traza una línea horizontal. Esta línea representa el eje de las abscisas o el eje X.

• Eje Vertical (Eje Y): Traza una línea vertical que cruce el eje X en su punto medio. Esta línea representa el eje de las ordenadas o el eje Y.
  
• • Origen: El punto donde se cruzan los ejes X e Y se llama origen. Este punto tiene las coordenadas (0, 0).

Marcando las Unidades (números):

• En ambos ejes, marca puntos a intervalos regulares. Estos puntos representan las unidades de medida.
• A la derecha del origen en el eje X, los números son positivos. A la izquierda, son negativos.
• Por encima del origen en el eje Y, los números son positivos. Por debajo, son negativos.
• Es importante que la distancia entre cada unidad sea la misma en ambos ejes para que la gráfica sea precisa.

Nota: Los números se colocan hasta donde lo necesiten.

Cuadrantes:

El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes:

ü Cuadrante I: Arriba a la derecha (X positivo, Y positivo).

ü Cuadrante II: Arriba a la izquierda (X negativo, Y positivo).

ü Cuadrante III: Abajo a la izquierda (X negativo, Y negativo).

ü Cuadrante IV: Abajo a la derecha (X positivo, Y negativo).

Puntos en el plano cartesiano.

Ejemplos:

Los puntos en el plano cartesiano se pueden representar como pares ordenados de números. El primer número del par se llama coordenada x y el segundo número se llama coordenada y.

Por ejemplo, los puntos que están en el plano de la imagen: (-1, ), (3, 2)  y  (-3, -4).

Actividades

► Plano cartesiano

VIDEO EJEMPLO:

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Apotema de un polígono Regular y su Calculo.

Apotema de un polígono Regular y su Calculo.

por   4:50 p.m.   No hay comentarios.:

La apotema de un polígono regular: Es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.

La medida de la apotema de un poligono regular puede escribirse en funcion del lado del polígono, Ln, y del radio de la circunferencia en que está inscrito, r.

La apotema an de un polígono regular se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo que se forma entre: apotema, radio y punto medio del segmento, quedando en dicho calculo la siguiente formula.

Donde:

an = apotema.
r = radio.
ln= lado

Ejemplo # 1:

Calcular la apotema de un pentágono regular de 6 cm de lado y radio 5cm.

Aquí la apotema se calcula con facilidad, que el radio y el punto medio y a la apotema, forman un triangulo rectángulo, por lo tanto

Ejemplo # 2:

Calcular la apotema de un cuadrado inscrito, de lado 

  en una circunferencia de radio r.

Buscamos la formula.

Aquí:

*ln = √2 r

* r = no se sabe.

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