Simetría central (transformaciones geométricas).

Simetría central (transformaciones geométricas).

por   5:13 p.m.   No hay comentarios.:

Una figura tiene simetría central si existe un punto, llamado centro de simetría, tal que la imagen de la figura reflejada alrededor de ese punto coincide con la figura original. Dos puntos son simétricos respecto de un punto que llamaremos centro de simetría si están a la misma distancia de éste en cualquier dirección.

Ejemplos de simetría central en nuestra vida diaria:
Los copos de nieve tienen simetría central. Si observas un copo de nieve, verás que cada uno tiene una forma hexagonal con seis brazos que son idénticos en tamaño y forma, que irradian desde un punto central.

Los girasoles tienen simetría central. Si miras un girasol desde arriba, verás que los pétalos están dispuestos alrededor de un punto central, y si los cuentas, generalmente tendrán un número de pétalos que es un número de Fibonacci.

Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0).

se pueden caracterizar gráficamente de la siguiente manera:

Una simetría de centro equivale a un giro de centro y amplitud . Por lo cual un tiene las siguientes coordenadas:

Ejemplos:
Los dos triángulos siguientes son simétricos con respecto al origen de coordenadas O:

Coordenadas de los puntos: A= (1, 2), B=(3, 1), C=(2, -1).

Coordenadas de sus simétricos: A’=(-1, -2), B’=(-3, -1), C’=(-2, 1).

VIDEO EJEMPLO:

Leer Mas

Traslación (transformación geométrica).

Traslación (transformación geométrica).

por   5:10 p.m.   No hay comentarios.:

La traslación pertenecen a un tipo de transformación geométrica que implica mover una figura de un lugar a otro sin cambiar su tamaño o su forma. En el plano, una traslación se realiza desplazando todos los puntos de una figura la misma distancia y en la misma dirección.

Las traslaciones no alteran la forma ni el tamaño de la figura original, sino que simplemente la mueve, conservando las propiedades geométricas, como la longitud de los segmentos, los ángulos y las áreas.

Algunos ejemplos de traslación en nuestra vida cotidiana:

- Cuando un vehículo, motor o bicicleta se mueve hacia adelante o hacia atrás, está experimentando
una traslación.
- Cuando movemos una imagen en una pantalla de un dispositivo electrónico, estamos realizando una traslación.
- En la astronomía, la traslación de los planetas en su órbita alrededor del sol es un ejemplo de una traslación en el espacio.
- Cuando empujamos un carrito de compras en el supermercado, estamos realizando una translación.

Traslaciones en el plano cartesiano:

Elementos de una traslación

1-) Componente horizontal (X): Indica cuánto se mueve la figura a lo largo del eje “X”, hacia la derecha (+x) o hacia la izquierda (-x).

Ejemplos:

Si tenemos el punto (2, 4), y queremos trasladarlo 5 unidades hacia la derecha, entonces a la componente de “X”, le sumamos más cinco, (2+5, 4), y el nuevo punto trasladado será (7, 4).

Si tenemos el mismo punto (2, 4), y queremos trasladarlo 5 unidades hacia la izquierda, entonces a la componente de “X”, le sumamos menos cinco, (2- 5, 4), y el nuevo punto trasladado será (-3, 4).

 

2-) Componente vertical (Y): Indica cuánto se mueve la figura a lo largo del eje “Y”, hacia arriba (+y) o hacia abajo (-y).

Ejemplos:
Traslada el triángulo ABC 4 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Nombra el nuevo triángulo A' B' C'.

1. Identificar las coordenadas de los vértices del triángulo original (ABC):

A: (3, 1)
B: (5, 3)

   C: (1, 4)

 2. Aplicar la traslación:
 La traslación nos indica que debemos mover cada punto 4 unidades a la derecha (sumar 4 a la    coordenada x) y 2 unidades hacia arriba (sumar 2 a la coordenada y).

3. Calcular las coordenadas de los nuevos vértices (A', B', C'):
A': (3 + 4, 1 + 2) = (7, 3)
B': (5 + 4, 3 + 2) = (9, 5)
C': (1 + 4, 4 + 2) = (5, 6)

Resultado:

El triángulo ABC trasladado 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba tiene los siguientes vértices: A': (7, 3)

• B': (9, 5)
• C': (5, 6)

VIDEOS EJEMPLOS:

Leer Mas

Simetría axial o de reflexión

Simetría axial o de reflexión

por   3:57 p.m.   No hay comentarios.:

La simetría axial o reflexión la podemos encontrar en distintos aspectos de la vida cotidiana como:

En la siguiente imagen podemos ver el Taj Mahal y su reflejo en el agua, utilizando la superficie del agua como eje de simetría.

La simetría axial o reflexión, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría (línea imaginaria que divide una figura, un cuerpo u otra 0033 en dos partes iguales), en la cual, a cada punto de una figura se asocia otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

Es importante destacar la aplicación de la reflexión en el plano cartesiano. Es por eso por lo que para reflejar un punto con respecto a los ejes X e Y, podemos seguir la siguiente regla:

-Al reflejar un punto con respecto al eje X la coordenada (x, y) cambia a (x, -y)
-Al reflejar un punto con respecto al eje Y la coordenada (x, y) cambia a (-x, y)

Reflejando imágenes en el plano cartesiano.

a-) Reflejando una imagen con respecto al eje “Y”.

Pasos:

1-Para reflejar un punto con respecto al eje “Y”, mantén la coordenada “Y” igual y cambia el signo de la coordenada “X”. Es decir, el punto (x, y) se convierte en (-x, y).

Ejemplo:

Dado el siguiente triangulo, reflejarlo con respecto al eje “Y”.

Escribimos los puntos:

A (2, 6), B(4, 2), C(1, 1)

Como vamos a reflejarlo con respecto al eje “Y”, se reescriben los puntos nuevamente donde las componentes de “Y”, se quedan igual, y las componentes de “X”, se le cambia el signo.

A (-2, 6), B(-4, 2), C(-1, 1)

Luego se ubican los nuevos puntos y se forma el triángulo.

b-) Reflejando una imagen con respecto al eje “X”.

1-Cambia el signo de las coordenadas “Y”: Para reflejar un punto con respecto al eje “X”, mantén la coordenada “X” igual y cambia el signo de la coordenada “Y”. Es decir, el punto (x, y) se convierte en (x, -y).

Ejemplos:

Dado el siguiente triangulo, reflejarlo con respecto al eje “X”.

Escribimos los puntos:

A (2, 6), B(4, 2), C(1, 1)

Como vamos a reflejarlo con respecto al eje “X”, se reescriben los puntos nuevamente donde las componentes de “X”, se quedan igual, y las componentes de “Y”, se le cambia el signo.

A (2, -6), B(4, -2), C(1, -1)

Luego se ubican los nuevos puntos y se forma el triángulo.

VIDEO EJEMPLO:

Leer Mas

Plano Cartesiano-ACTIVIDAD

Plano Cartesiano-ACTIVIDAD

por   5:47 p.m.   No hay comentarios.:

I-) Utiliza el siguiente plano cartesiano para ubicar los puntos: P1(.1, 1); P2(2, 1); P3(3,-3) y P4(-2, -3). Luego, utiliza la regla para unir los puntos en el orden dado, ¿Qué figura geométrica se forma?

II-) Mira el plano cartesiano y selecciona la respuesta correcta.

¿Cuál es la coordenada de la palma?

¿En qué coordenada se encuentra la rosa?

III-) En la siguiente figura observamos un pueblo donde sus calles están distribuidas en forma horizontal y vertical. En algunas intersecciones se encuentran la iglesia, una escuela, un banco, una biblioteca y un hospital. ¿Si extrapolamos el pueblo a un plano cartesiano, podemos indicar las coordenadas del punto donde se encuentra cada establecimiento?

Leer Mas

Coordenadas Cartesianas.

Coordenadas Cartesianas.

por   4:27 p.m.   No hay comentarios.:

El plano cartesiano es el invento del mundialmente conocido matemático, físico y filósofo francés René Descartes; la principal función del plano cartesiano es la de ubicar puntos en relación con dos dimensiones.

Para realizar esta función, este plano utiliza dos rectas numéricas, una horizontal que es denominada eje de X o de las abscisas y otra vertical que es denominada eje de Y o de las ordenadas, con ambas se forma un ángulo que equivale a los noventa grados, es decir, son perpendiculares entre sí.

El punto de corte se llama origen y se denota mediante la letra O. La recta horizontal recibe el nombre de eje “x” y la vertical, eje “y”. Las escalas de ambos ejes no necesariamente tienen que ser de igual medida, por ejemplo, el eje x puede representar cantidades muy grandes, mientras que el eje y cantidades muy pequeñas, o viceversa.

Construir un plano cartesiano.

Dibujando los Ejes:

• Eje Horizontal (Eje X): Traza una línea horizontal. Esta línea representa el eje de las abscisas o el eje X.

• Eje Vertical (Eje Y): Traza una línea vertical que cruce el eje X en su punto medio. Esta línea representa el eje de las ordenadas o el eje Y.
  
• • Origen: El punto donde se cruzan los ejes X e Y se llama origen. Este punto tiene las coordenadas (0, 0).

Marcando las Unidades (números):

• En ambos ejes, marca puntos a intervalos regulares. Estos puntos representan las unidades de medida.
• A la derecha del origen en el eje X, los números son positivos. A la izquierda, son negativos.
• Por encima del origen en el eje Y, los números son positivos. Por debajo, son negativos.
• Es importante que la distancia entre cada unidad sea la misma en ambos ejes para que la gráfica sea precisa.

Nota: Los números se colocan hasta donde lo necesiten.

Cuadrantes:

El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes:

ü Cuadrante I: Arriba a la derecha (X positivo, Y positivo).

ü Cuadrante II: Arriba a la izquierda (X negativo, Y positivo).

ü Cuadrante III: Abajo a la izquierda (X negativo, Y negativo).

ü Cuadrante IV: Abajo a la derecha (X positivo, Y negativo).

Puntos en el plano cartesiano.

Ejemplos:

Los puntos en el plano cartesiano se pueden representar como pares ordenados de números. El primer número del par se llama coordenada x y el segundo número se llama coordenada y.

Por ejemplo, los puntos que están en el plano de la imagen: (-1, ), (3, 2)  y  (-3, -4).

Actividades

► Plano cartesiano

VIDEO EJEMPLO:

Leer Mas

Apotema de un polígono Regular y su Calculo.

Apotema de un polígono Regular y su Calculo.

por   4:50 p.m.   No hay comentarios.:

La apotema de un polígono regular: Es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.

La medida de la apotema de un poligono regular puede escribirse en funcion del lado del polígono, Ln, y del radio de la circunferencia en que está inscrito, r.

La apotema an de un polígono regular se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo que se forma entre: apotema, radio y punto medio del segmento, quedando en dicho calculo la siguiente formula.

Donde:

an = apotema.
r = radio.
ln= lado

Ejemplo # 1:

Calcular la apotema de un pentágono regular de 6 cm de lado y radio 5cm.

Aquí la apotema se calcula con facilidad, que el radio y el punto medio y a la apotema, forman un triangulo rectángulo, por lo tanto

Ejemplo # 2:

Calcular la apotema de un cuadrado inscrito, de lado 

  en una circunferencia de radio r.

Buscamos la formula.

Aquí:

*ln = √2 r

* r = no se sabe.

Leer Mas

Ángulos Internos y Externos de un Polígono Regular.

Ángulos Internos y Externos de un Polígono Regular.

por   4:47 p.m.   2 comentarios:

ÁNGULOS INTERNOS.

En el hexágono, los lados, AB, AC, BD, CE, DF y EF, son lados consecutivos. Los ángulos:

son los ángulos internos.

Si el polígono es regular, todos sus ángulos tienen la misma medida. Para determinar la medida de un angulo de un polígono regular utilizamos la siguiente formula:

Ejemplo: 

Determinar las medidas de los Ángulos Interno del siguiente Polígono.

Aquí tenemos la formula, donde "n" representa el número de lados del polígono.

n= 6

ÁNGULOS EXTERNOS.

Los ángulos externos de un polígono regular son suplementarios de sus ángulos internos, quiere decir, que si un ángulo interno mide 120 grado, entonces el externo mide 60 grado.

Ejemplo: 

Determinar las medidas del Ángulo Externo del siguiente Polígono.

Aquí tenemos la formula, donde "n" representa el número de lados del polígono.

VÍDEO EJEMPLO:

Leer Mas

Convertir Radian a Grados.

Convertir Radian a Grados.

por   3:17 p.m.   No hay comentarios.:

Convertir radianes a grados es una operación común en trigonometría y otras áreas de las matemáticas.

¿Por qué es importante esta conversión?

• Unidades diferentes: Radianes y grados son dos unidades diferentes para medir ángulos.
• Aplicaciones: Dependiendo del contexto o de la herramienta que estés utilizando, necesitarás expresar los ángulos en una u otra unidad.

La fórmula de conversión:

Para convertir de radianes a grados, utilizamos la siguiente fórmula:

• Grados = Radianes * (180°/π)

Donde:

• π es una constante matemática aproximadamente igual a 3.14159.

Ejemplo:

Supongamos que tienes un ángulo de π/4 radianes y quieres saber cuántos grados son. Aplicando la fórmula:

• Grados = (π/4) * (180°/π) = 45°

Por lo tanto, π/4 radianes equivale a 45 grados.

VIDEO EJEMPLO:

Leer Mas