Nueva forma geométrica conocida como “soft cells”.

Nueva forma geométrica conocida como “soft cells”.

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Matemáticas en acción: el sorprendente hallazgo de las “soft cells”

En el mundo de las matemáticas, cada año trae consigo descubrimientos que no solo desafían nuestra comprensión teórica, sino que también transforman la manera en que interactuamos con el entorno. Uno de los aportes más fascinantes de los últimos meses ha sido el descubrimiento de una nueva forma geométrica conocida como “soft cells”.

¿Qué son las “soft cells”?

Las “soft cells” son figuras que pueden cubrir una superficie sin dejar espacios vacíos, similar a los mosaicos, pero con una estructura más flexible y orgánica. Lo sorprendente es que estas formas no solo existen en el papel: se han identificado en estructuras naturales como las conchas de nautilus y los glóbulos rojos. Este hallazgo conecta la matemática pura con la biología, la arquitectura y el diseño.

Características principales:

Bordes curvos y esquinas mínimas:
A diferencia de los mosaicos tradicionales (como los cuadrados o hexágonos), las células blandas tienen bordes redondeados y el menor número de esquinas posible, a menudo dos "puntiagudas" o cuspidales en 2D.

Flexibilidad y adaptabilidad:
Pueden doblarse, torcerse y deformarse fluidamente para adaptarse a su entorno, lo que las hace muy eficientes en el llenado del espacio.

Comunes en la naturaleza:
Aparecen en diversas formas naturales, como en los tejidos musculares, pétalos de flores, conchas y cortes de cebolla, donde la naturaleza prefiere evitar los ángulos agudos por razones de energía y estructura.

Implicaciones matemáticas y de la naturaleza:
Nuevas posibilidades geométricas: Desafían los modelos geométricos convencionales y abren un nuevo campo de investigación sobre la forma.

Comprensión de fenómenos naturales: Ayudan a entender cómo los organismos biológicos se forman, crecen y funcionan.

Inspiración para el diseño: Han inspirado a artistas y arquitectos, como la diseñadora Zaha Hadid.

Ejemplos de células blandas en la naturaleza:

Secciones transversales de cebolla: Muestran cámaras curvas que encajan perfectamente entre sí.
Conchas de nautilo: Presentan cámaras con bordes curvos que demuestran la geometría de la célula blanda en 3D.
Tiras de cebra: Son un ejemplo de la aplicación de células blandas en la naturaleza.

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El problema del puente de Königsberg y el resultado de EULER.

El problema del puente de Königsberg y el resultado de EULER.

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El enigma de los puentes de Königsberg: ¿Por qué no se puede cruzar cada uno solo una vez?

¿Alguna vez te has preguntado si es posible cruzar todos los puentes de tu ciudad sin pasar dos veces por el mismo? Esta pregunta, que hoy parece un simple acertijo, fue en realidad el punto de partida de una rama fundamental de las matemáticas: la teoría de grafos. Su origen se remonta al siglo XVIII, en la antigua ciudad prusiana de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia).

La ciudad estaba dividida por el río Pregel y contaba con siete puentes que conectaban cuatro grandes áreas de tierra: dos islas y dos orillas. Los habitantes tenían un pasatiempo peculiar: pasear por la ciudad e intentar encontrar una ruta que les permitiera cruzar cada uno de los siete puentes una sola vez y regresar al punto de partida. Por más que lo intentaban, nadie lo lograba.

¿Qué hizo Euler?

En primer lugar, Euler simplificó el mapa del territorio a simplemente unas cuantas líneas y puntos, es decir elimino todo lo sobrante en el mapa.

Como podemos ver, los distintos territorios en los que los puentes dividieron la ciudad se convirtieron en puntos, es decir, en “vértices”; y los puentes se convirtieron en líneas, lo que llamamos “aristas”. También determina que hay un punto de “inicio” y un punto de “salida”.

Euler consiguió con este esquema, estudiar una solución para este famoso enigma que La reina de Konigsberg planteó como un problema matemático

Para poder recorrer los puentes de Königsberg, los vértices “intermedios” deben tener un número par de aristas. Es decir, deben tener una vía para entrar y una vía para salir. Sólo los puntos de inicio y salida pueden tener un número impar de aristas, porque, evidentemente, nunca “entramos” al punto de inicio y nunca “salimos” del punto de llegada.

Para simplificarlo aún más y poder explicarlo en el aula, vamos a imaginar una ruta que tenemos que recorrer, podríamos imaginar cualquier ruta o lugar para usarlo como ejemplo en clase pero para seguir con algunos apuntes de historia, vamos a escoger la única ruta que realizó el trasatlántico TITANIC en su viaje inaugural.

La genialidad de Euler fue darse cuenta de que la clave no estaba en la forma de los puentes o la distancia entre ellos, sino en la cantidad de puentes que llegaban a cada área de tierra (lo que hoy llamamos el grado del vértice). Demostró que para poder recorrer un camino que cruzara cada arista una sola vez, la red de puntos y líneas tenía que cumplir una de dos condiciones:

1. Si se quiere empezar y terminar en el mismo punto: Todos los puntos deben tener un número par de conexiones.

2. Si se quiere empezar y terminar en puntos diferentes: Exactamente dos puntos deben tener un número impar de conexiones (el de inicio y el de fin), y los demás deben tener un número par.

Al aplicar esta lógica a Königsberg, Euler descubrió que los cuatro puntos (las dos orillas y las dos islas) tenían un número impar de puentes (tres de ellos tenían tres puentes, y uno tenía cinco). Como no se cumplía ninguna de las condiciones, la conclusión fue innegable: era imposible cruzar todos los puentes una única vez.

El trabajo de Euler no solo resolvió un simple acertijo, sino que sentó las bases para la teoría de grafos, una rama de las matemáticas que hoy se utiliza para resolver problemas tan diversos como el diseño de redes de transporte, la optimización de rutas de internet, la planificación de logística y hasta el análisis de redes sociales. Un simple paseo por los puentes de una ciudad se convirtió en el nacimiento de una herramienta matemática que modela el mundo moderno.

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Álgebra Lineal en Redes Neuronales.

Álgebra Lineal en Redes Neuronales.

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Las redes neuronales son modelos de inteligencia artificial inspirados en el cerebro humano. Utilizan estructuras llamadas capas de neuronas para procesar datos y aprender patrones. Aquí es donde el álgebra lineal juega un papel crucial. Vamos a desglosarlo:

Álgebra Lineal en Redes Neuronales

1-) Matrices y vectores:
-Cada capa de una red neuronal realiza cálculos utilizando matrices y vectores. Por ejemplo, los datos de entrada se representan como un vector, y los pesos y sesgos de las neuronas se organizan en matrices.

 
-El cálculo principal en cada capa es la multiplicación entre una matriz de pesos y un vector de entrada, seguido de la adición de un vector de sesgos. Esto se expresa como: $$y = Wx + b$$ Donde:

 

• WW es la matriz de pesos.
• xx es el vector de entrada.
• bb es el vector de sesgos.
• yy es el resultado o vector de salida

2-) Funciones de activación:

Después de realizar las operaciones con matrices y vectores, se aplica una función de activación (como ReLU, Sigmoid o Tanh) para introducir no linealidad. Esto permite que la red neuronal aprenda patrones complejos.


3-) Propagación hacia atrás (Backpropagation):

Es el algoritmo que ajusta los pesos de la red para minimizar el error. Aquí el álgebra lineal y el cálculo diferencial se combinan para calcular gradientes (derivadas) y actualizar los pesos.


4-) Reducción de dimensionalidad:

Algunas técnicas como PCA (Análisis de Componentes Principales) utilizan álgebra lineal para simplificar la representación de datos y hacerlos más manejables para las redes neuronales.

Ejemplo Práctico

Imagina que entrenas una red para clasificar imágenes de gatos y perros. Cada imagen se convierte en una matriz (un conjunto de píxeles), y las operaciones con álgebra lineal transforman y procesan esas matrices para que la red pueda identificar patrones que diferencien a un gato de un perro.

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El ÁLGEBRA ayuda a construir edificios mas fuertes.

El ÁLGEBRA ayuda a construir edificios mas fuertes.

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Podemos encontrar las raíces de polinomios en las teclas de un piano. Al pulsar una tecla se activa un martillo que golpea una cuerda que vibra a determinada frecuencia (velocidad), que es la que define la nota. Esta frecuencia es un número, y, de hecho, es la raíz de un polinomio que se define a partir de las características de la cuerda. Esto mismo sucede en cualquier instrumento, y a cualquier objeto que vibra.

Cuando un terremoto sacude un edificio, lo hace vibrar; también cuando un avión se encuentra con turbulencias. Además de emitir una nota, se produce un efecto llamado resonancia, que puede llegar a ser destructivo. Así sucedió con el puente de Tacoma Narrows en 1940. Un fuerte viento sopló a la velocidad justa (la frecuencia de resonancia del puente), haciendo que el puente se agitara fuertemente, aunque es posible que no fuera la causa final de su colapso. Actualmente las estructuras están diseñadas para que sus notas de resonancia sean difíciles de reproducir en la naturaleza, por lo que este tipo de fenómenos son muy poco probables. Los ingenieros utilizan, de esta manera, el cálculo de raíces de polinomios.

Otra aplicación muy común es la optimización. Esta técnica matemática permite usar de forma eficiente recursos escasos como el tiempo, la energía o el dinero, siguiendo determinados objetivos. Las compañías la emplean, por ejemplo, para decidir si es mejor gastar más dinero en contratar más empleados, remodelar la oficina, comprar más productos que luego se vayan a vender, o dejarlo en el banco. Para poder establecer la estrategia óptima se resuelven, con ayuda de un ordenador, una serie de ecuaciones que reflejan cuanta inversión y cuanto beneficio se asocia a cada acción. Las estrategias óptimas se corresponden habitualmente con las raíces de las ecuaciones escritas.

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Actualmente las estructuras están diseñadas para que sus notas de resonancia sean difíciles de reproducir en la naturaleza

Sin embargo, el cálculo de las raíces no es siempre sencillo, y los matemáticos llevan siglos dedicados a este problema. Hay dos resultados clave sobre ello. El primero es el Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que todo polinomio de grado n (el mayor de los exponentes de la variable) tiene n raíces, algunas de ellas pueden ser múltiples, en el mundo de los números complejos. De esta manera, sabemos exactamente cuántas raíces debemos buscar. El segundo resultado es el llamado Teorema de Abel, que afirma que no hay una fórmula general, que implique únicamente las operaciones básicas, para obtener las raíces de los polinomios de grado cinco o mayor. Esto significa que en general, a partir de grado cinco, no es posible calcular las raíces de forma exacta mediante una fórmula de este tipo, solo aproximaciones.

En la segunda mitad del siglo XX, el análisis numérico siguió creciendo, y fueron apareciendo diferentes fórmulas para calcular raíces de polinomios. La mayoría se obtenía a partir de viejas ideas, como la de Newton, convenientemente modificadas para poder ser resueltas de forma eficiente con un ordenador. Cada método tiene sus pros y sus contras. Por ejemplo, el método de Frobenius de matrices compañeras da muy buenas aproximaciones pero supone más trabajo de computación que otras técnicas, y la situación empeora cuando crece el grado del polinomio. Matemáticos e ingenieros se dieron cuenta de que podría mejorarse el método utilizando ciertas características de los polinomios. Yo trabajé, junto a otros matemáticos, para proponer un perfeccionamiento que disminuye significativamente el tiempo de cálculo y mejora la precisión, que ha sido reconocido como uno de los mejores métodos para calcular raíces de polinomios por la Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada estadounidense.

Gracias a estos avances conseguimos métodos cada vez más sencillos y eficaces para calcular las raíces de los polinomios y, con ellas, entre otras cosas, diseñar mejores edificios y obtener mejores soluciones para la distribución de recursos.


FUENTE: el pais.

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A través del Álgebra se puede mejorar el Cáncer de próstata.

A través del Álgebra se puede mejorar el Cáncer de próstata.

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A través de la predicción del movimiento de los órganos comprometidos en la radioterapia (vesículas seminales, próstata, recto y vejiga), el modelo matemático ayuda a precisar las dosis del tratamiento, así como a evitar efectos secundarios.
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“Una de las formas más comunes de tratamiento del cáncer de próstata, cuando éste no ha hecho metástasis, es la radioterapia, que consiste en tomar una foto de los órganos comprometidos, que se delinean y así se propone la dosis por utilizar”, explica Richard Ríos Patiño, estudiante del Doctorado en Ingeniería Sistemas Energéticos de la Facultad de Minas de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín, y de la Université de Rennes 1, en Francia.

Sin embargo, dicha fotografía no es fiel a la distribución de los órganos ya que estos se mueven. Por eso, previendo esta situación, la propuesta del ingeniero se centra en predecir cómo lo hacen, especialmente la vejiga.

“De acuerdo con la posición que ésta ocupe en el cuerpo, y teniendo en cuenta que solo tiene ciertas direcciones sobre las cuales se deforma, lo que hicimos fue identificarlas y predecir su movimiento”, amplía el doctorando, vinculado al Grupo de Automática de la Universidad Nacional (Gaunal) y al laboratorio LTSI de la Université de Rennes 1.

Basado en ese modelo, señala, se pudieron cuantificar las incertidumbres que genera el movimiento de la vejiga durante el tratamiento, lo cual afecta la dosis que se puede irradiar.

Para llegar al resultado, la metodología utilizada por el investigador incorporó una técnica de algebra lineal que permite la descomposición de una matriz en tres componente, conocida como machine learning (máquinas de aprendizaje).

Así, el ingeniero Ríos mezcló variantes e información como: dosis, órganos, movimiento y toxicidad, que incluyó en un modelo matemático con el que consiguió reducir la incertidumbre en cuanto al movimiento de los órganos involucrados en el cáncer de próstata.

El joven investigador menciona que una de las razones por las cuales los órganos se mueven es porque los pacientes consumen agua, lo que hace que tanto la vejiga como el recto se llenen y empujen unos órganos contra otros.

Esta situación hace que la dosis que inicialmente se planea para la radioterapia no sea eficaz, pues cuando ésta se realiza se irradian tanto las células afectadas como las sanas; por el contrario, aumentan las probabilidades de que el paciente desarrolle efectos secundarios o que se pierda el control sobre el tumor.

Por ejemplo, en la vejiga se incrementa la frecuencia urinaria, lo que puede afectar la calidad de la vida de la persona.

El cáncer de próstata es uno de los tipos de cáncer más comunes que afecta a los hombres a nivel mundial, se calcula que uno de cada siete lo padece. En el país la tasa de mortalidad de esta enfermedad rodea al 3 % de la población afectada. (Fuente: UN/DICYT)

FUENTE: noticia-de-Ciencia

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Matemáticas en la Biología (Modelo Matemático describe como trabajan las células que nos defienden de nuevas infecciones.

Matemáticas en la Biología (Modelo Matemático describe como trabajan las células que nos defienden de nuevas infecciones.

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Un nuevo estudio utiliza modelos matemáticos para explicar cómo se expanden las células T, parte de las defensas clave del cuerpo contra los patógenos, para combatir una nueva infección. El equipo encontró que la cantidad de expansión de las células T está relacionada con la cantidad de material infeccioso, o antígeno, así como con la adherencia con la que la célula T se une al antígeno.

Las células T son como las fuerzas de operaciones especiales del sistema inmunológico, que detectan y matan las células infectadas. Cuando se detecta una nueva amenaza, las células aumentan de unas pocas células centinelas a un pelotón completo. Pero, ¿cómo hace el sistema inmunológico la cantidad justa de células T, cuando las poblaciones iniciales de células T varían?

Ahora, un equipo de Princeton ha proporcionado información sobre esta pregunta utilizando modelos matemáticos. El equipo encontró que los factores más importantes en la expansión de las células T fueron la cantidad inicial de agente infeccioso y la afinidad de las células por ese agente. La investigación, que podría ayudar a optimizar las estrategias de vacunación, se publicó la semana pasada en la revista Proceedings de la Academia Nacional de Ciencias .

El equipo de Princeton se sintió intrigado por esta pregunta después de que un estudio reciente realizado por otro equipo (Quiel, et al .) Descubrió que este aumento sigue un patrón predecible: si el número inicial de células T es pequeño, el aumento es grande, pero si el número inicial de células T es grande, el incremento es pequeño. Esta relación sigue una "ley de potencia" matemática que establece que la cantidad de expansión de las células T depende inversamente de la potencia del número inicial de células T.

"La importancia de esta relación observada es que aunque el sistema inmunológico es muy complicado y tiene todo tipo de mecanismos de retroalimentación, se ve una especie de regularidad, lo que significa que es probable que exista algún tipo de mecanismo subyacente simple en funcionamiento", dijo Ned. Wingreen, el profesor Howard A. Prior en Ciencias de la Vida, profesor de biología molecular y del Instituto Lewis-Sigler para Genómica Integrativa, y autor principal del estudio. "Ya sea que comience con 50 o 50,000 celdas, el proceso que rige su amplificación es el mismo".

El resultado de esta relación es que, ya sea que haya pocas o muchas células T para comenzar, el número final listo para combatir la infección no es ni demasiado grande ni demasiado pequeño. Esto tiene sentido para el organismo que combate la infección, pero el equipo de Princeton se preguntó qué está sucediendo en el sistema inmunológico para hacer posible este aumento selectivo.

El primer autor Andreas Mayer, investigador asociado en el Instituto Lewis-Sigler de Genómica Integrativa de Princeton, y el equipo utilizaron modelos matemáticos para explorar cómo responden las células T cuando ocurre una infección.

Las células T están salpicadas de receptores capaces de detectar fragmentos de agentes infecciosos, conocidos como antígenos, en la superficie de las células infectadas. Cuando los receptores de células T se adhieren a los antígenos en la superficie de estas células, las células T son estimuladas a clonarse para formar un ejército que combate las infecciones.

Al comienzo de una nueva infección, las células presentadoras de antígenos muestran muchos antígenos en sus superficies, pero esta presentación se desvanece con el tiempo, especialmente si el sistema inmunitario está combatiendo con éxito la infección.

El equipo descubrió que estos niveles menguantes de antígeno proporcionan un mecanismo simple que puede explicar la relación de ley de poder.

La idea es que las células T se amplifiquen a su velocidad máxima hasta que el número decreciente de antígenos signifique que las células T ya no pueden encontrar antígenos.

"Si empiezas con un número bajo de células T, puedes expandir por más tiempo hasta que alcances el nivel decreciente de antígenos", dijo Mayer. "Pero si empiezas con un número mayor de células T, entonces con relativa rapidez te quedarás sin antígenos". Las células T que no pueden encontrar antígenos finalmente dejan de dividirse.

Esta relación tiene sentido evolutivo, dijo Wingreen, porque cuando desaparece la infección, las células T dejan de expandirse, lo que evita que el sistema inmunológico se vuelva hiperactivo.

El equipo también examinó otra faceta de la relación entre las células T y las células presentadoras de antígenos: la fuerza con que interactúan las dos. Su modelo predijo que las células que se adhieren fuertemente al antígeno proliferarán por más tiempo: cuanto mayor sea la afinidad por el antígeno, mayor será el número final de células. Los investigadores pudieron verificar esta predicción al volver a analizar los datos de otro estudio publicado previamente (Zehn, et al .).

"Estamos particularmente entusiasmados de que nuestro modelo pueda explicar múltiples leyes fenomenológicas de cómo se expanden las células T", dijo Mayer. "Cuando comenzamos, no esperábamos un mecanismo tan simple para explicar tantas observaciones dispares".

Estas relaciones sugieren lecciones para los desarrolladores de vacunas, dijo Wingreen. Las vacunas involucran el uso de antígenos para estimular la producción de células del sistema inmunológico. Los modelos matemáticos pueden ayudar a los investigadores a determinar cuánto antígeno se necesita para lograr una respuesta inmune óptima.

El estudio, "Regulación de la expansión de las células T por la dinámica de presentación de antígenos", por Andreas Mayer, Yaojun Zhang, investigador asociado de física en el Centro de Ciencias Teóricas de Princeton, Alan S. Perelson del Laboratorio Nacional de Los Álamos y Ned S. Wingreen, fue publicado en línea el 8 de marzo de 2019, en la revista Proceedings de la Academia Nacional de Ciencias .

Este trabajo fue apoyado por la National Science Foundation a través del Centro Princeton para la Física de la Función Biológica, los Institutos Nacionales de la Salud, la Fundación Gordon y Betty Moore y el Departamento de Energía de los Estados Unidos.

FUENTE: sciencedaily

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