Los Conjuntos Numéricos.

Los Conjuntos Numéricos.

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DESCARGAR:      Conjuntos numéricos. Son conjuntos de números. En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números, tales como: naturales,  enteros, racionales, irracionales entre otros, que trataran en lo adelante...

Números naturales (N)
Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y aún se utilizan para contar elementos de un conjunto. Los números naturales sirven para contar y ordenar fundamentalmente.
Los números naturales son un conjunto de números de la forma: 1, 2, 3,…. que denotaremos con el símbolo IN, esto es:

IN = {1, 2, 3, 4, 5 ...}
En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen.

Una representación gráfica de N en la recta numérica se muestra en la figura 1:

Figura 1. N  en la recta numérica.

De N y N se pueden formar variados subconjuntos, entre ellos se encuentran: 

• El Conjunto de los números pares es un subconjunto de N donde:
{x Є IN0 / x=2n, n Є N } = {0, 2, 4, 6, 8, 10,....}.

• El Conjunto de los números impares es un subconjunto de N donde:
{x Є IN0 / x=2n + 1, n Є  N } ={1, 3, 5, 7, 9, 11,....}.
Observa que estos dos conjuntos no tienen elementos en común y que si se unen ambos, forman el conjunto  N

• El conjunto de los Múltiplos de un número es un subconjunto de N donde:
Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales. Los múltiplos de un número n pertenecen al conjunto formado por:
 {1·n, 2·n, 3·n, 4·n,...}.

• El Conjunto de los Números Primos es un subconjunto de IN donde:
El número natural p>1 es un número primo si sus únicos divisores son 1 y el mismo numero.
Algunos números primos son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...}.

 Números enteros (Z)
Si se requiere dar solución a la sustracción 4 – 9, es necesario encontrar un número que sumado a 9 de cómo resultado 4. Este número no existe en N.
Para que la sustracción tenga siempre solución, se extiende la recta numérica hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponde un punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero. 

Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero, representa un número negativo. 
Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos. Este conjunto se denota por  Z, donde:

Z={..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Una representación gráfica de   en la recta numérica se muestra en la figura 2:

__|____|____|____|___|____|____|____|____|____|____|__
...-5     -4     -3     -2    -1      0       1      2      3       4      5...

Figura 2. Z en la recta numérica.

Cada número negativo es considerado el opuesto o inverso aditivo de su simétrico positivo y, cada número positivo, es el opuesto de su simétrico negativo. Por ejemplo, 3 es el opuesto o inverso aditivo de -3. 

La distancia que existe entre un número a y el cero la representaremos a través del valor absoluto y se expresará como |a|. Como se refiere a una distancia, el valor absoluto de un número siempre es positivo. 

Números	Nombre
0, 1, 2, 3, 4, 5, …	Naturales
1, 2, 3, 4, 5, …	Números de contar
... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …	Enteros

Números racionales (Q)

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones, es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Decimos que (a) es un número racional, si es posible expresarlo de la forma a=p/q, donde p y q son números que pertenecen a  Z , también sabiendo que es diferente de cero q ≠ 0.

En los números racionales  p es llamado numerador y q es el denominador de la fracción.

El conjunto de los racionales es denso porque entre dos números racionales siempre podemos encontrar otro número racional.

Ejemplos de números racionales

- Los números enteros se pueden expresar como fracción con denominador 1, por lo tanto, todo número entero es también un número racional:

Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo

Aunque también podría ser expresado de esta manera:

5/7

Representación decimal de un número racional:

Toda fracción puede expresarse como decimal dividiendo el numerador por el denominador.

Un número decimal finito es un número racional que puede ser representado por una fracción decimal.
Ejemplo:

0,25 es un número racional ya que 1/4=0,25, pues:
 1 : 4 = 0, 25
-0/ 10
- 8/20
- 20/0

 Clasificación de los Racionales:

Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como decimal.

Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.

2/7    5/8      9/15      80/245

Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador

7/2     8/5       15/9      245/80

Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.

            

Decimales Finitos: Los decimales finitos son aquellos cuya parte decimal posee un número determinado de dígitos 1,875,    0.2      0.0004,     54.48

Decimales Infinitos Periódicos

 Decimales Infinitos Semi-periódicos: Son aquellos que en su parte decimal tienen cifras que no se repiten, a las que llamamos ante período, y luego un período de una o más cifras. Los escribiremos de la siguiente forma abreviada:

Los Irracionales en cambio son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria, por ejemplo: los números decimales infinitos no-periódicos, raíces no exactas y algunas constantes.              ( 0,5423178356493548712....;

Números reales (R) : En matemáticas, los números reales (designados por R) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; 

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radiación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

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Operaciones combinadas con números enteros(+, -, x, ÷)

Operaciones combinadas con números enteros(+, -, x, ÷)

por   11:40 a.m.   4 comentarios:

Las operaciones combinadas son operaciones mixtas sobre enteros, es decir, se hacen distintas operaciones, sumas, restas, productos o cocientes. Para ello es necesario establecer una prioridad a la hora de operar.

Prioridad de operaciones
En las operaciones combinada pueden aparecer corchetes [], paréntesis() , productos, cocientes, sumas o restas. Las prioridades operando son:
1. Corchetes
2. Paréntesis
3. Productos y cocientes
4. Sumas y restas

 Combinación de sumas y diferencias.

Ejemplo: 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =

Aquí lo más recomendables es, agrupar los que tienen los mismos signos, para realizar la suma y por último la resta.

Combinación de sumas, restas y productos.

Si tenemos un ejercicio de matemática, donde hay varias operaciones, debemos de realizar primero, los productos y cocientes si están en dicho ejercicio, y por ultimos la suma y las resta.

EJEMPLO-1)

EJEMPLO-2)

Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.

10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 - 5 x 2 - 8 + 4 x 2 - 16 ÷ 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

ACTIVIDAD
Calcula. Recuerda que las divisiones y multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas.

  a) 5 – 12 : 3 + 7  =                                    

  b) 6 + 8 + 15 :  4  =                      

 

  c) 4 – 2 . 12 : 6 =                   

  d) (– 8 ) : 2 – (– 4 ) –  =               

  e) (- 24 ) . (- 2 ) + 5 – 8  =  

  f)  – 30  : 6 + 5 + 24  =  

  g) 4 + 7 – 18 : (– 6 ) + 42 : 7 – 8 = 

  

  h) 2 + 6 : (– 3 ) – 24 : (– 6) + (– 72) : 12 = 

Resuelve las siguientes operaciones calculando previamente el valor de los paréntesis. Recuerda que las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las sumas y las restas.

a)  (12 – 2 ) + ( 1 – 6 ) =                         

b) – 11 + ( 4 + 7) – 3 = –  

 

c) – 6 – (5x3) : 2 =           

d)   – 2 + (12 : 3 ) .  4 x 2 ) =  

e)    11 – (– 2 +  ) + ( 7 – 4 ) =  

f)    2 . 4 + 12 : 3+( 11 – 3 ) =  

g)      (– 3 + 5 ) . (– 8 + 3 )  . (– 3 + 7 ) =   

h)      (– 2 . 2 ) + (– 2 ) . (– 1 + 14 : 2 ) =  –

i)    18 + [ 13 + 4 – ( 5 – 7 ) + 6 ] =             

j)    15 – [12 – 3 . 4 . (– 5 ) + 10] =          

k)    18 – [2 – ( 4 + 5 ) . (– 4 + 9)] =             

l ) – [13 – ( 12 – 6 )] – [ 3 . (– 6)] =          

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Multiplicación y División de números enteros.

Multiplicación y División de números enteros.

por   11:36 a.m.   No hay comentarios.:

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se multiplican sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

3. Si son tres o mas números enteros, se procede a multiplicar los signos y luego los números(valores absoluto). 

Si en un el ejercicio hay varios signos negativos, se cuenta la cantidad de ellos, para saber que signo lleva el resultado de la operación, si la cantidad de signos es impar el resultado es (-), y si es par el resultado es(+).

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se dividen sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos:

Multiplicación                                    División

(+) ⋅(+) = +                                         (+) : (+) = +

(−) ⋅(−) = +                                         (−) : (−) = +

(+) ⋅(−) = −                                         (+) : (−) = −

(−) ⋅(+) = −                                         (−) : (+) = −

Por ejemplo:
a)     (+5) ⋅ (−3) = −15

b)     (−5) ⋅ (−3) = +15

c)     (+5) ⋅ (+3) = +15

d)     5 ⋅ 3 = 15

e)     (+20) : (−4) = −5

f)     (−20) : (−4) = +5

g)    (+20) : (+4) = +5

ACTIVIDAD:
Calcula las operaciones aplicando la regla de los signos.
a) (+12) ⋅ (−3) =

b) (−1) ⋅ (−18) =

c) (−20) : (−10) =

d) (−77) : (−11) =

e) (+10) ⋅ (+4) =

g) (+80) : (−8) =

h) (−9) ⋅ (+8) =

Completa con los números enteros correspondientes.
a) (+9) ⋅____    = −36

b) (−7) ⋅____= +21

c) ____⋅ (−8) = −40

d) ____⋅ (+10) = −100

e) (−30) ⋅____= +30

f) (+6) ⋅_____  = 0

g) (+42) :____  = −7

h) (−20) : ____= −20

i) (−8) : _____= +1

j) ____: (−6) = +5

k) _____: (−9) = +6

l) (+9) :____  = −9

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Transformar decimal a fracción.

Transformar decimal a fracción.

por   11:37 a.m.   No hay comentarios.:

Transformar decimal a fracción

Los números decimales pueden clasificarse en:

a) decimales finitos: son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita.

Ejemplos:  4,56 ;  0,0003 ;  2,9876 :  0,1 ;  3,42 , etc.

Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se obtenga resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito.

Un decimal finito representa una fracción decimal.

b) decimales infinitos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente. Por ejemplo: 0,333333.....  es infinito por que el 3 se repite indefinidamente. Estos números son divisiones inexactas. No representan una fracción decimal.

Los decimales infinitos pueden ser: infinitos puros, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos.

Al conjunto de los números racionales sólo pertenecen los números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. Los decimales infinitos puros pertenecen al conjunto de los números irracionales, porque no pueden transformarse en fracción.

c) decimales infinitos periódicos: son aquellos que tiene una o más cifras que se repiten sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escribe en forma abreviada coronando al período con un pequeño trazo.

    

d) decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama anteperíodo (es un número que está entre la coma y la rayita).

Transformación de un decimal finito a fracción

Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

Ejemplo 1:     0,045  =   45  : 5  =   9   Se anota el número, en este caso 45.
                                 1.000 : 5    200  Se divide por 1.000,  porque  hay tres espacios decimales ocupados, luego simplificamos por 5

Ejemplo 2:   1,2     =    12  : 2  =    6   
                                  10  : 2         5

Transformación de un decimal infinito periódico en fracción

Los pasos a seguir son los siguientes:

1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita)

2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica.

Otro ejemplo:    Expresar como fracción 57,1888888....

57,18¯ =  5.718 – 57=  5.661  :  9  =  629

                    99              99    :  9          11

Transformación de decimal infinito semiperiódico a fracción

1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.

2) El denominador  de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.

                             

Ver: Transformar fracción a decimal

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Números decimales y sus clasificaciones.

Números decimales y sus clasificaciones.

por   11:36 a.m.   No hay comentarios.:

Fracción decimal

Una fracción decimal tiene por denominador la unidad seguida de ceros.

Ejemplo:

Número decimal

Un número decimal se puede expresar mediante una fracción decimal.
Consta de dos partes:

Parte entera

Parte decimal

Ejemplo:

Para expresar un número decimal como una fracción decimal, escribimos como numerador de la fracción el número dado sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga ese número.

Ejemplo:

Unidades decimales

Son fracciones decimales que tienen por numerador uno y por denominador una potencia de 10.

Ejemplo:

Redondeo de decimales

Para redondear números decimales tenemos que fijarnos en la unidad decimal posterior a la que queremos redondear. Si la unidad decimal es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad la unidad decimal anterior; en caso contrario, la dejamos como está.

Ejemplos:

2.36105 2.4 (Redondeo hasta las décimas)

2.36105 2.36 (Redondeo hasta las centésimas)

2.36105 2.361 (Redondeo hasta las milésimas)

2.36105 2.3611 (Redondeo hasta las diezmilésimas)

Tipos de números decimales

1 Decimal exacto

La parte decimal de un número decimal exacto está compuesta por una cantidad finita de términos.

Ejemplo:

2 Periódico puro

La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente.

Ejemplo:

3 Periódico mixto

Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y una parte periódica o período.

Ejemplo:

4 No exactos y no periódicos

Hay números decimales que no pertenecen a ninguno de los tipos anteriores.

Ejemplo:

Clasificación de números decimales a partir de la fracción

Dada una fracción podemos determinar qué tipo de número decimal será, para lo cual, tomamos el denominador y lo descomponemos en factores.

Si aparece sólo el 2, o sólo el 5, o el 5 y el 2, la fracción es decimal exacta.

Ejemplo:

Si no aparece ningún 2 ó ningún 5, la fracción es periódica pura.

Ejemplo:

Si aparecen otros factores además del 2 ó el 5, la fracción es periódica mixta.

Ejemplo:

Ordenar números decimales

Dados dos números decimales es menor:

1 El que tenga menor la parte entera.

Ejemplo:

3.528 < 5.00001 < 7.36

2 Si tienen la misma parte entera, el que tenga la menor parte decimal.

Ejemplo:

3.00001 < 3.36 < 3.528

Representación de números decimales

Cada número decimal tiene su lugar en la recta numérica. Para representar las décimas dividimos la unidad en 10 partes.

Para representar las centésimas dividimos cada décima en 10 partes.

Para representar las milésimas dividimos cada centésima en 10 partes, y así continuaríamos para las diez milésimas, cien milésimas, etc.

No hay dos números decimales consecutivos, porque entre dos decimales siempre se pueden encontrar otros decimales (de hecho, entre dos decimales siempre se pueden encontrar infinitos decimales).

2.6		2.65		2.7
2.65		2.653		2.66
2.653		2.6536		2.654

Suma y resta de números decimales

Para sumar o restar números decimales:

1 Se colocan en columnas haciendo corresponder las comas.

2 Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas...

Ejemplos:

1 342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37=

2 372.528 − 69.68452=

Multiplicación de números decimales

Para multiplicar dos números decimales:

1 Se multiplican como si fueran números enteros.

2El resultado final es un número decimal cuyo número de decimales es igual a la suma del número de decimales de los dos factores.

Ejemplo:

46.562 · 38.6 =

El primer factor tiene 3 decimales y el segundo 1, por tanto, el resultado tiene 4 decimales.

Multiplicación por la unidad seguida de ceros

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Ejemplo:

1.236 · 10 = 12.36

1.236 · 100 = 123.6

1.236 · 1 000 = 1 236

1.236 · 10 000 = 12 360

División de números decimales

1 Sólo el dividendo es decimal

Se efectúa la división de números decimales como si de números enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, colocamos una coma en el cociente y continuamos dividiendo.

Ejemplo:

526.6562 : 7 = 75.2366

2 Sólo el divisor es decimal

Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. A continuación dividimos como si fueran números enteros.

Ejemplo:

5126 : 62.37 = 82.18

3 El dividendo y el divisor son decimales

Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y del divisor, añadiendo a aquel que tenga menos decimales, tantos ceros como cifras decimales de diferencia haya. A continuación se prescinde de la coma, y dividimos como si fueran números enteros.

Ejemplo:

5627.64 : 67.5261 = 83.34

División por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Ejemplo:

235 : 10 = 23.5

235 : 100 = 2.35

235 : 1 000 = 0.235

235 : 10 000 = 0.0235

Raíz cuadrada de números decimales

Para extraer la raíz cuadrada de un número decimal, debemos seguir los siguientes pasos:

1 Se separan grupos de dos cifras a partir de la coma hacia la izquierda (la parte entera) y hacia la derecha (la parte decimal).

2 Si el radicando tiene en su parte decimal un número impar de cifras, se añade un cero a la derecha.

3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadrada del número que resulta.

4 En la raíz, a partir de la derecha, colocamos un número de cifras decimales igual al número de pares de cifras decimales que hubiere en el radicando. En el resto y también a partir de la derecha, se separan tantas cifras decimales como haya en el radicando.

Ejemplo:

Ejemplo de raíz cuadrada con decimales

Resolver la raíz cuadrada de:

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