Los Conjuntos Numéricos.

DESCARGAR:      Conjuntos numéricos. Son conjuntos de números. En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números, tales como: naturales,  enteros, racionales, irracionales entre otros, que trataran en lo adelante...

Números naturales (N)
Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y aún se utilizan para contar elementos de un conjunto. Los números naturales sirven para contar y ordenar fundamentalmente.
Los números naturales son un conjunto de números de la forma: 1, 2, 3,…. que denotaremos con el símbolo IN, esto es:

IN = {1, 2, 3, 4, 5 ...}
En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen.

Una representación gráfica de N en la recta numérica se muestra en la figura 1:

Figura 1. N  en la recta numérica.

De N y N se pueden formar variados subconjuntos, entre ellos se encuentran: 

• El Conjunto de los números pares es un subconjunto de N donde:
{x Є IN0 / x=2n, n Є N } = {0, 2, 4, 6, 8, 10,....}.

• El Conjunto de los números impares es un subconjunto de N donde:
{x Є IN0 / x=2n + 1, n Є  N } ={1, 3, 5, 7, 9, 11,....}.
Observa que estos dos conjuntos no tienen elementos en común y que si se unen ambos, forman el conjunto  N

• El conjunto de los Múltiplos de un número es un subconjunto de N donde:
Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales. Los múltiplos de un número n pertenecen al conjunto formado por:
 {1·n, 2·n, 3·n, 4·n,...}.

• El Conjunto de los Números Primos es un subconjunto de IN donde:
El número natural p>1 es un número primo si sus únicos divisores son 1 y el mismo numero.
Algunos números primos son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...}.

 Números enteros (Z)
Si se requiere dar solución a la sustracción 4 – 9, es necesario encontrar un número que sumado a 9 de cómo resultado 4. Este número no existe en N.
Para que la sustracción tenga siempre solución, se extiende la recta numérica hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponde un punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero. 

Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero, representa un número negativo. 
Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos. Este conjunto se denota por  Z, donde:

Z={..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Una representación gráfica de   en la recta numérica se muestra en la figura 2:

__|____|____|____|___|____|____|____|____|____|____|__
...-5     -4     -3     -2    -1      0       1      2      3       4      5...

Figura 2. Z en la recta numérica.

Cada número negativo es considerado el opuesto o inverso aditivo de su simétrico positivo y, cada número positivo, es el opuesto de su simétrico negativo. Por ejemplo, 3 es el opuesto o inverso aditivo de -3. 

La distancia que existe entre un número a y el cero la representaremos a través del valor absoluto y se expresará como |a|. Como se refiere a una distancia, el valor absoluto de un número siempre es positivo. 

Números	Nombre
0, 1, 2, 3, 4, 5, …	Naturales
1, 2, 3, 4, 5, …	Números de contar
... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …	Enteros

Números racionales (Q)

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones, es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Decimos que (a) es un número racional, si es posible expresarlo de la forma a=p/q, donde p y q son números que pertenecen a  Z , también sabiendo que es diferente de cero q ≠ 0.

En los números racionales  p es llamado numerador y q es el denominador de la fracción.

El conjunto de los racionales es denso porque entre dos números racionales siempre podemos encontrar otro número racional.

Ejemplos de números racionales

- Los números enteros se pueden expresar como fracción con denominador 1, por lo tanto, todo número entero es también un número racional:

Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo

Aunque también podría ser expresado de esta manera:

5/7

Representación decimal de un número racional:

Toda fracción puede expresarse como decimal dividiendo el numerador por el denominador.

Un número decimal finito es un número racional que puede ser representado por una fracción decimal.
Ejemplo:

0,25 es un número racional ya que 1/4=0,25, pues:
 1 : 4 = 0, 25
-0/ 10
- 8/20
- 20/0

 Clasificación de los Racionales:

Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como decimal.

Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.

2/7    5/8      9/15      80/245

Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador

7/2     8/5       15/9      245/80

Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.

            

Decimales Finitos: Los decimales finitos son aquellos cuya parte decimal posee un número determinado de dígitos 1,875,    0.2      0.0004,     54.48

Decimales Infinitos Periódicos

 Decimales Infinitos Semi-periódicos: Son aquellos que en su parte decimal tienen cifras que no se repiten, a las que llamamos ante período, y luego un período de una o más cifras. Los escribiremos de la siguiente forma abreviada:

Los Irracionales en cambio son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria, por ejemplo: los números decimales infinitos no-periódicos, raíces no exactas y algunas constantes.              ( 0,5423178356493548712....;

Números reales (R) : En matemáticas, los números reales (designados por R) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; 

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radiación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.