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lunes

Matemática Serie 23

Multiplicación y División de números enteros y su uso en la Vida Real.

por     No hay comentarios.:
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos números tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos números tienen distinto signo, el producto es negativo.
Ejemplos:
 (+3) · (+7) = +21 
 (-3) · (-7) = +21 
 (-3) · (+7) = -21
(+3) · (-7) = -21 

Otro ejemplo:

Al dividir dos números:

• que tienen igual signo, el resultado es siempre positivo.
Ejemplos 
1. 120 ÷ 10 = 12
2. (–36) ÷ (–9) = 4

• que tienen diferentes signos, el resultado es negativo.
Ejemplos 
1. (–54) ÷ 6 = –9
2. 20 ÷ (–4) = –5

En la división de números enteros, también se aplica la regla de los signos dela multiplicación.



En la Vida Real.

Uso de la multiplicación de enteros en la Vida Real.
Ejemplos: 
Juan gasta 3 euros cada vez que va a la escuelas. ¿Cuanto gasta si va cinco día en una semana?
Datos: 
gasto = -3
día que va a la escuela = 5
Total: (-3).(+5) = -15

Otro ejemplo:
Si tenemos en un deposito un tanque con 50 litros de agua, y sacamos agua con un envase que solo puede contener 8 litros de agua.¿Que cantidad de agua se le habrá sacado a dicho tanque si se le ha sacado 4 veces agua?
Datos:
-tanque pierde -8 litros
-veces que se le ha sacado agua +4
Total: (-8).(4) = -32


División de números enteros en la Vida Real.

Ejemplos 

1-) El padre del Juan, María y José, dejo una deuda con el banco de $ 115,000, si los tres hermanos deciden pagar la deuda,¿cuanto deben pagar cada uno?

-aquí la deuda = -115,000
-será dividida = 3

Resultado = (-115000) ÷ (3) = - 35,000 lo que pagará cada uno.

2-)  Hemos comprado 4 kg de trigo  y hemos pagado 44 euros, ¿ cuánto ha costado el kg de trigo?

-aqui el trigo= +4
-aqui pagado = +44

Resultado = (+44) ÷ (+4) = +11 lo que cuesta cada kilo de trigo.

Actividades
► Ejercicios de Multiplicación y División de Números Enteros.
► -Ejercicios-Multiplicación y División de Números Enteros en la Vida Real.


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martes

Matemática Serie 23

Comparar dos Radicales con Indice Diferentes.

por     No hay comentarios.:
Comparar dos radicales es, saber diferenciar cual de los dos es mayor. En el siguiente ejemplo veremos de manera fácil y rápido como comparar dos radicales, teniendo en cuenta los artificios que se usaran para ellos.

Pasos para comparar

1-) Lo primero que haremos es, observar los indice que tienen cada raíz.

 

2-) Buscar el Minimo Comun Multiplo (mcm) de los indices señalados.
En lo particular me gusta obtener el mcm  de dos números, construyendo tablas de multiplicar.
El M.C.M de   5 y 3  lo consigo asi:
3-) Ya obtenido el mcm de los indice 3 y 5 que es 15, procedemos a convertir los radicales en una potencia.
4-) Luego colocamos mcm buscado, como numerador en cada exponente y dividirlo.

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5-) Por ultimo las potencias que nos quedan, las comparamos para observar cual es mayor o menor, y si no esta conciente, cual de las dos es mayor, entonces resuelva las potencias para ver cual es mayor.



 Actividad.
I-) Comparar los siguientes radicales.

Si no entiende, entonces vea este vídeo...
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lunes

Matemática Serie 23

Propiedades de los Radicales.

por     11 comentarios:
Un radical es una expresión de la forma, en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.


Expresión de un radical en forma de potencia
potencia

Como se indica con la igualdad de la raíz  \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación.

 Las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radiación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Las propiedades de la Radiación son las siguientes:

1- ) Raíz de un producto: La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.

     \sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
Ej: \sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12.
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.
2- ) Raíz de un cociente: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
Ejemplo

 \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}.

3- ) Raíz de una raíz: Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.
\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}.
Ejemplo

 \sqrt[9]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[27]{5}.
4- ) Potencia de una raíz: Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.
\left(\sqrt[n]{a} \right)^m =\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}
Ejemplo
si 3 y 4
\left(\sqrt[4]{x} \right)^3 = \sqrt[4]{x^3} = \ x^{\frac{3}{4}}.
5- ) Potencia de un producto: La raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.

\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}} = a^{\frac{m+n}{mn}} = \sqrt[m \cdot n]{{a}^{m +n}}



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domingo

Matemática Serie 23

Tabla de Verdad, ejercicios resueltos.

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Una vez que hemos simbolizado un razonamiento; es decir, que hemos traducido el lenguaje natural al lenguaje formal, debemos comprobar si dicho razonamiento es válido o no. Para ello podemos servirnos de las tablas de verdad y de las deducciones lógicas.
Ahora vamos a ocuparnos de las tablas de verdad.


 1) Partimos de que cada variable proposicional puede ser verdadera o falsa. V o F

2) Cuando tenemos más de una variable, las combinaciones de valores de verdad serán varias. Para saber cuántas combinaciones de valores de verdad podemos obtener, elevamos 2 al número de variables distintas que aparezcan. Colocamos dichos valores repartíéndolos por la mitad en la primera variable, por la mitad de esta en la siguiente, etc..
Ej  [ ( p   -->   q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 
       
          V          V
          V           F
           F          V
           F           F 

3) Resolvemos las tablas de verdad de las fórmulas no afectadas por el conector dominante. Se llama conector dominante al que separa las premisas de la conclusión.
Para ello tenemos que saber que:

a) El negador cambia el valor de verdad de la variable o fórmula a la que afecta. Si aplicamos esto a la fórmula que estamos resolviendo, tendríamos:
        [ ( p   -->   q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 
       
          V          V              F               F
          V           F             V               F
           F          V              F              V
           F           F             V              V
b) El conjuntor solo es verdadero cuando son verdaderas las dos variables o fórmulas que enlaza.
c) El disyuntor solo es falso cuando son falsas las dos variables o fórmulas que enlaza.
d) El condicional sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente  es falso.
e) El bicondicional es verdadero cuando antecedente y consecuente tienen el mismo valor de verdad y falso cuando antecedente y consecuente tienen distinto valor de verdad.
Ej. Si aplicamos estas reglas al ejemplo que tenemos entre manos, tendremos:
       [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 
       
          V    V      V            F                F
          V     F      F           V                F
           F    V      V           F               V
           F    V      F           V               V
Una vez resuelto el paréntesis, hago la tabla de verdad de la fórmula que está entre corchetes. Y así:
      [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 
       
          V    V      V     F      F              F
          V     F      F     F      V              F
           F    V      V     F      F             V
           F    V      F     V      V             V

4) Resolvemos la tabla de verdad de la fórmula afectada por el conector dominante. Y así:

       [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]        -->    ¬ p 
       
          V    V      V     F      F        V        F
          V     F      F     F      V        V        F
           F    V      V     F      F        V       V
           F    V      F     V      V        V       V

Puede ocurrir que el resultado final sea siempre verdadero, como en este ejemplo, y eso se llama una TAUTOLOGÍA;que el resultado final sea a veces verdadero y a veces falso, y eso se llama INDETERMINACIÓN; y, por último, que todos los resultados sean falsos y eso se llama una contradicción.


Ahora practica tú con las fórmulas siguientes:

[(p V q) ^ ( p--> r) ^ ¬ r] --> q

[ ((p ^ ¬ q) ^ ( q --> r)) ^ ¬ r] --> p

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