Números naturales y sus clasificaciones.

Números naturales

Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Con los números naturales podemos:

1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

Ejemplo: 8 es el número de planetas del Sistema Solar.

2 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).

Ejemplo: El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.

3 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257.

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí:

Ejemplo:

5 > 3 5 es mayor que 3.

3 < 5 3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

Suma de números naturales

a + b = c

Los términos que intervienen en una suma se denominan:

a y b se denomina sumandos.

El resultado (c) se denomina suma.

Propiedades de la suma de números naturales

1 Operación interna

El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.

2 Asociativa

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10

3 Conmutativa

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

Ejemplo:

2 + 5 = 5 + 2
7 = 7

4 Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número.

a + 0 = 0 + a

Ejemplo:

a + 0 = a

Resta de números naturales

a − b = c

Los términos que intervienen en una resta se denominan:

a se denomina minuendo.

b se denomina sustraendo.

El resultado (c) se denomina diferencia.

Propiedades de la resta de números naturales

1 No interna

El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.

2 No conmutativa

Potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

5 · 5 · 5 · 5 = 54

Los elementos que constituyen una potencia son:

La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

Propiedades de las potencias de números naturales

1 Un número elevado a 0 es igual a 1

Ejemplo:

50 = 1

2 Un número elevado a 1 es igual a sí mismo

Ejemplo:

51 = 5

3 Producto de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Ejemplo:

25 · 22 = 25+2 = 27

4 División de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

Ejemplo:

25 : 22 = 25 − 2 = 23

5 Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

Ejemplo:

(25)3 = 215

6 Producto de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

Ejemplo:

23 · 43 = (2 · 4)3=83

7 Cociente de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

Ejemplo:

63 : 33 = (6:2)3=23

Raíz cuadrada

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

(Raíz)índice = Radicando

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

(Raíz)2 = Radicando

Tipos de raíces cuadradas

1Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada de un número "a" es exacta cuando encontramos un número "b" que elevado al cuadrado es igual al radicando:
b2 = a.

Ejemplo:

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

Ejemplo:

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
Algunos de esos números son:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

2Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

Ejemplo:

Cálculo de una raíz cuadrada

Ejemplo:

1 Si el radicando tiene más de dos cifras separamos las cifras en grupos de dos, empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9. Entonces, tomaremos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto por defecto (es decir, del menor): 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.

3 El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

El cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.    

Separamos la 1ª cifra a la derecha (2) y nos quedamos con 49.

Dividimos 49 por el doble de la raíz obtenida anteriormente 2 · 2 = 4

49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5En otra fila debajo de la raíz colocamos el doble de la misma. A continuación, se coloca el cociente que se obtenga. Y luego el número obtenido se multiplica por dicho cociente. Después, se resta a la cantidad operable del radicando.

Colocamos en otra fila el doble de la raíz, que en este caso es 4.    

Colocamos el cociente obtenido (9) a continuación del 4, obteniendo así el número 49.

Multiplicamos 49 por 9 y obtenemos 441

Restamos 441 a 492 (que es la cantidad operable del resultado).

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7... hasta encontrar un valor inferior.

 

Si el resultado de hacer 49 · 9 hubiese sido mayor que 492, habríamos probado a hacer 49 · 8, 49 · 7,...

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz.

8 Prueba de la raíz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:

Prioridad de las operaciones

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2 Calcular las potencias y raíces.

3 Efectuar los productos y cocientes.

4 Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

• Sin paréntesis
• Con paréntesis
• Con corchetes
• Con llaves

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 3 = 8

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

1.2 Combinación de sumas, restas y productos

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =

= 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

Posteriormente efectuamos las sumas y restas.

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

Efectuamos las sumas y restas.

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 20 : 4 =

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 =

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 5 = 25

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

Seguimos con los productos y cocientes.

Efectuamos las sumas y restas.